Задачи на целое и части

В программе по математике В.В. Давыдова, С.Ф. Горбова при решении текстовых задач формулы как один из видов моделирования используются только в задачах на целое, состоящее из разных частей. Я взяла на себя смелость придумать вместе с учениками формулы для задач на разностное сравнение, для задач на кратное сравнение и для задач на целое, состоящее из равных частей. Чтобы самостоятельно решать задачи перечисленных типов, ученик должен уметь правильно определять тип задачи, знать различные виды моделей, уметь выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

В 1-м классе вводятся понятие «задача», первый тип задач на целое и части и модели (чертеж, схема, формулы) для их решения. Составляется таблица «Типы задач», где – целое, – часть (обозначения предложены авторами учебника).

Во 2-м классе дети знакомятся с задачами на разностное сравнение. До их введения дети уже умеют по заданному математическому рассказу на целое и части составлять три (или более) задачи (в зависимости от количества компонентов). На основе этого умения строится проблемная ситуация. Сначала ученики демонстрируют свое умение переделывать математический рассказ на целое и части в три задачи. Затем предлагается переделать следующий математический рассказ в задачи. Но текст им дается такой, где величины связаны отношением разностного сравнения.

У ребят возникает первая проблема – неудобно показывать разницу величин, располагая отрезки по-старому, линейно. Дети предлагают располагать их друг под другом, уравняв начала отрезков и показав разницу.

При построении схемы большую и меньшую величины они предлагают поместить в квадратики, а отношения «больше» или «меньше» – на стрелочку между ними, которая указывает на бoльшую величину. Затем дети без труда переделывают математический рассказ в три задачи.

Вторая проблемная ситуация возникает, когда нужно придумать формулу для нахождения бoльшей величины, меньшей и разницы. Ученики моего класса предложили большую величину обозначить буквой Б, меньшую – М, разницу – . Тогда для нахождения бoльшей величины дети записывают формулу Б = М + А, для нахождения меньшей величины – формулу М = Б – , для нахождения разницы выводят формулу = Б – М.

После этого дети подставляют в формулы величины и решают задачи. Такие задачи они пока называют задачами на сравнение, не уточняя тип сравнения.

В конце урока дополняется таблица «Типы задач». Дети повторяют, с помощью какого чертежа и схемы записывали условие задачи. Учитель после этого вывешивает часть таблицы, дополняя уже известную.

Затем вспоминают, с помощью каких формул решали задачи, и опять дополняют таблицу.

Дают название данным задачам – задачи на сравнение.

Введение задач на кратное сравнение происходит аналогичным образом. Дети показывают свое умение составлять по математическому рассказу на разностное сравнение три задачи. Затем им предлагается составить задачи по тексту, в котором величины связаны отношением кратности. Выясняется, что этот математический текст – тоже на сравнение, но другого, незнакомого типа. Возникает необходимость уточнения названия знакомых задач на сравнение. Так как величины в таких задачах связаны отношением разности, то и задачи назовем задачами на разностное сравнение. Как назвать новый тип задач на сравнение, мы договариваемся после их решения.

Следующая проблемная ситуация возникает у детей при построении чертежа для нового рассказа. Им необходимо показать, что одна величина больше другой в несколько раз. Приходится сначала строить меньшую величину. Чтобы построить бoльшую величину, нужно взять меньшую и отложить ее столько раз, во сколько раз бoльшая величина превышает меньшую. В дальнейшем, если отношение кратности («разы») выражено бoльшим числом и при построении чертежа бoльшая величина не умещается в тетради, отношение кратности записывается так, как это показано на схеме:

Изменения в схеме дети показывают изменением записи на стрелочке между большей и меньшей величинами. После этого они без труда составляют по данному тексту три задачи.

Проблемная ситуация снова возникает, когда нужно придумать формулы для решения этих задач. В нашем классе были придуманы следующие формулы для задач на кратное сравнение: Б = М x Р; М = Б : Р; Р = Б : М, где Б – бoльшая величина, М – меньшая величина, Р – отношение кратности («разы»). Тогда по аналогии с задачами на разностное сравнение новые задачи назовем задачами на кратное сравнение.

В результате таблица задач пополнилась еще одной строкой:

Модели при решении задач на целое, состоящее из равных частей, вводятся аналогичным образом.

Дети показывают умение решать задачи на целое, состоящее из разных величин. (До этого урока такие задачи называли задачами на целое и части.)

Следующая задача, которую предлагает учитель, – на целое, состоящее из равных частей. Чертеж и схему для данного типа задач дети строят без труда по аналогии с задачами на целое, состоящее из разных частей, и решают эту задачу старым способом.

В следующей задаче целое содержит так много равных частей, что построить их на чертеже и отразить в схеме старым способом нереально (например, когда целое состоит из 100 равных частей). Возникает необходимость как-то преобразовать чертеж и схему. На чертеже целое, состоящее из равных частей, предлагается изобразить аналогично большей величине в задачах на кратное сравнение:

Схему же изображаем следующим образом:

Формулы, придуманные детьми и используемые мной в дальнейшем, выглядят так: , где n – количество частей.

После этого у детей возникает необходимость уточнения названий задач на целое и части. Так появляются задачи на целое, состоящее из разных частей, и задачи на целое, состоящее из равных частей.

На этом уроке дети заканчивают составлять таблицу:

Материалами данной таблицы в нашей школе пользуются почти все учителя начальных классов, а также учителя математики, работающие по системе РО.