ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ"

Ирэн АРГИНСКАЯ,
Елена ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекция 4.

Урок математики в системе Л.В. Занкова

Как и в подавляющем большинстве систем, используемых российскими школами, основной формой обучения в системе Л.В. Занкова является классно-урочная форма. Вместе с тем конкретное воплощение этой формы имеет свои существенные особенности, связанные с общими особенностями системы, о которых говорилось на предыдущих лекциях.

Хорошо знакомая учителям схема построения моноурока, когда все его основное содержание «привязано» к одной теме, оказывается абсолютно несостоятельной – урок в системе предполагает работу по нескольким разным темам, которые на данном уроке могут быть и связаны, и не связаны между собой. Из всех тем, которые предполагается затронуть на уроке, одна является ведущей. Она определяет тему и занимает наибольшее время (приблизительно половину урока). Остальные темы служат закреплению ранее изученного материала, его расширению и углублению или подготовке к изучению новой темы. Помимо этого, работа с этими темами способствует более рациональному использованию времени урока, так как переключение с одной темы на другую нейтрализует накопившуюся усталость, пробуждает новую волну интереса, способствует формированию гибкости ума, что очень важно для успешного обучения любому предмету.

Итак, первая и основная особенность уроков математики в системе Л.В. Занкова – их многоаспектность.

Значительную помощь в построении такого урока оказывают учебники и рабочие тетради по математике, расположение в них заданий. С этой точки зрения рассмотрим несколько страниц второй части учебника для 1-го класса.

Основная тема: «Натуральный ряд чисел»

1. Сравнение чисел и изображение соответствующих им множеств.

2. Сравнение объектов по изменяющимся и неизменным признакам (первое задание, в котором изменяются два признака).

3. Работа над каллиграфией (написание цифр 7 и 1).

4. Выделение «лишнего» (не подходящего к остальным) рисунка на основе анализа рисунков с различных позиций.

5. Упорядочивание объектов по высоте.

6. Графический диктант на основе ориентации на плоскости в одном из четырех направлений (вправо, влево, вверх, вниз).

7. Ориентация на плоскости (первый случай ориентации с сочетанием двух направлений).

8. Анализ «запутанного» рисунка. Работа над каллиграфией (написание цифр 8, 3, 2, 6).

9. Знакомство с терминами «расположение в порядке увеличения (возрастания)» и «расположение в порядке уменьшения (убывания)».

10. Анализ незавершенных рисунков и их идентичное завершение без представленного образца.

Из десяти перечисленных заданий к основной теме относятся три – 1, 5, 9. Между ними располагаются задания, относящиеся к самым разным вопросам, изучение которых начато в первой части учебника, а здесь получает свое развитие.

Рассмотрим еще пример из учебника для 4-го класса.

Основная тема: «Умножение многозначных чисел»

49. Поиск разных способов умножения многозначного числа на многозначное на основе знаний об этом действии, полученных ранее (к этому моменту дети знают смысл умножения, табличное умножение и умножение многозначного числа на однозначное).

50. Задача с избыточными данными, ее преобразование и решение.

51. Преобразования сложных выражений, не влияющие на их значения.

52. Свойства квадрата и их использование в практической деятельности.

53. Определение значения произведения многозначных чисел с помощью сочетательного закона умножения и распределительного закона умножения относительно сложения. Оценка каждого способа.

54. Задача с недостающими данными. Ее преобразование разными способами.

55. Использование прикидки при сложении многозначных чисел.

56. Увеличение площади квадрата без смещения фиксированных точек.

57. Решение неравенств с переменной при помощи соответствующих им уравнений. Графическое отражение области решений неравенств.

58. Решение задачи разными способами. Выбор рационального способа и обоснование выбора.

59. Продолжение поиска различных способов определения значения произведения многозначных чисел.

Из приведенных заданий к основной теме относятся задания 49, 53 и 59. Основное задание 57 относится к другой теме, которая изучается параллельно, – «Неравенства с переменной».

При анализе приведенных перечней заданий может создаться впечатление, что ведущая на данном этапе тема «тонет» среди остальных затрагиваемых тем, но это не так. Работа с основными заданиями, как уже было сказано, занимает значительно больше времени на уроке и главенствует на нем. Эти задания требуют коллективного обсуждения учениками, поиска различных вариантов решения поставленной проблемы. Если учитель вносит в урок свои задания, они должны концентрироваться вокруг основного задания.

С этих позиций рассмотрим фрагмент урока в 4-м классе, в котором основным является задание 53 (начало изучения умножения многозначных чисел).

На доске:

Учитель. Выпишите произведения, значения которых вы можете найти, и объясните, какие знания вам помогли.

Дети выполняют задание самостоятельно, а затем рассказывают, что им в этом помогло.

Дети. 8 х 7 = 56. Я использовал знание таблицы умножения.

– 193 х 1 = 193. Это особый случай умножения. Если число умножить на 1, получится то же число.

– 74 х 9 = 70 х 9 + 4 х 9 = 630 + 36 = 666. Здесь я использовал представление многозначного множителя в виде суммы разрядных слагаемых и распределительный закон умножения относительно сложения.

– 87 х 0 = 0. Это тоже особый случай умножения, который мы знаем. Если один множитель равен нулю, значение произведения тоже равно нулю.

– 39 х 19 и 62 х 18 я не смог сосчитать, потому что плохо понял то, что мы делали на прошлом уроке.

Несколько учеников пытаются объяснить способы, которые были тогда найдены детьми, но большая часть считает, что нужно всем вместе разобраться в них еще раз.

У. Кто хочет объяснить, как лучше можно найти значение произведения 62 х 18?

Четыре ученика поднимают руки.

– Максим, подойди к доске и объясни, как ты выполнил вычисление.

Максим записывает на доске:

– Я использовал сочетательный закон умножения: сначала я заменил число 18 равным ему произведением 18 = 9 х 2, потом умножил 62 на 9, а потом результат умножил на 2. Я использовал знания об умножении многозначного числа на однозначное.

Ира. А я пользовалась теми же знаниями, но число 18 заменила произведением 6 х 3.

У. Кто понял способ, предложенный Максимом и Ирой?

Почти все дети поднимают руки.

– Сейчас проверим, действительно ли вы поняли. Из произведений на доске выпишите такие, которые удобно вычислить при помощи сочетательного закона сложения (задание 53 в несколько измененном виде).

На доске:

Дети самостоятельно выполняют задание, но если кто-либо испытывает затруднения, учитель разрешает обратиться к любому ученику за помощью. После завершения работы ученики рассказывают, по какому признаку они нашли нужные произведения. Нужно отметить, что многие ученики затруднились выписать выражения 1249 х 84 и 397 х 144, так как в них второй множитель нужно представить в виде произведения большего, чем два множителя.

– Значения выписанных произведений вы найдете дома. Сейчас я предлагаю каждому придумать одно произведение, значение которого удобно найти, используя сочетательный закон умножения. Когда выполните задание, поменяйтесь тетрадями и проверьте работу друг друга.

Ученики выполняют задание и проверяют работы друг друга. Несколько учеников допустили ошибки, но их немного.

– Я думаю, что вы устали заниматься умножением и пора заняться совсем другим делом. Я предлагаю выполнить очень интересное задание. Откройте учебник на с. 23 и прочитайте задание 52 (1).

Дети читают про себя текст задания.

Задание 52 (1). Двое рабочих изготавливали квадратные паркетные дощечки. Один из них проверял свою работу, сравнивая длину сторон каждой дощечки, и считал, что если все стороны равны, дощечка вырезана верно. Другой сравнивал углы дощечек и считал, что если все углы были прямые, дощечка вырезана верно. Чья проверка более надежна? Объясни свой ответ.

Д. Я думаю, что обе проверки одинаково правильные – ведь у квадрата углы должны быть прямые и все стороны равны.

– Я не согласен с Машей. Обе проверки недостаточные: если все стороны равны – это будет любой ромб, а квадрат – это особый ромб, у него углы должны быть прямые.

– Миша правильно сказал про длину сторон, а если все углы прямые, то получается любой прямоугольник, а не обязательно квадрат!

У. Так как же правильно проверить, квадратные получаются дощечки или нет?

Д. Я думаю, что нужно сравнить длину всех сторон и узнать, все ли углы прямые. Если все стороны равны и все углы прямые, значит, дощечка квадратная.

У. Согласны ли вы с такой проверкой?

Д. Да! Согласны! Все правильно!

У. А теперь я предлагаю вам такую работу: прочитайте задания 51 (1, 2, 3), 54, 55, и пусть каждый выберет из них то, которое больше нравится. Начинайте выполнять выбранное задание, а закончите работу дома. Если захотите, можете выполнить не одно задание. Если некоторые пункты выбранного вами задания вы не сможете выполнить, не огорчайтесь – мы разберем их на следующем уроке все вместе.

Дети начинают выполнять задание учителя и работают 6 минут, почти до конца урока.

– Наш урок заканчивается. Подумайте, что на нем было самым главным? Какова была тема урока?

Д. Самой главной была работа с умножением, ведь мы учились умножать многозначные числа, а этого мы еще не умеем. А тему урока я бы назвал так: «Умножение многозначных чисел».

– Я не согласен с такой темой урока. Мы ведь долго будем учиться умножать многозначные числа и так и будем каждый урок записывать одну и ту же тему? Я предлагаю такую тему: «Умножение многозначных чисел при помощи сочетательного закона умножения».

Учитель спрашивает, с каким вариантом дети согласны. Почти все считают второй вариант более правильным и точным.

У. Что вам больше всего понравилось на уроке? (Большей части учеников понравилась задача о паркете. На вопрос учителя: «А что не понравилось?» – не было названо ни одного задания.)

– Урок окончен. Мне было очень приятно с вами работать: вы были внимательны, допустили мало ошибок и сами догадались, как их исправить, хорошо исследовали появляющиеся перед вами проблемы. А вы довольны своей работой на уроке?

Большая часть детей довольны, но есть и те, кто своей работой недоволен. Причины разные: допускал ошибки, не смог найти ответ на вопрос учителя, забыл, какие знания необходимы, чтобы выполнить то или иное задание, и т.д.

Мы не рекомендуем учителю значительно изменять порядок расположения заданий, особенно «стягивать» вместе задания одной темы. Опыт показывает, что именно объединение в одном уроке разных вопросов способствует, с одной стороны, естественной индивидуализации темпа и глубины овладения знаниями, умениями и навыками каждым ребенком, а с другой – позволяет значительно более эффективно использовать время урока. Ведь переключение детей на совершенно новый по сравнению с предыдущим материал снимает накопившуюся усталость, возбуждает новую волну интереса.

Наиболее приемлемым является такой вариант: в урок включаются основное (выделенное) задание и любые 2–3 задания из расположенных между ним и предыдущим и (или) последующим основными заданиями. Например, в учебнике для 1-го класса (часть 1) на одном из первых уроков основным является задание № 3, определяющее тему урока «Много – мало».

Где много вишен – справа или слева? Где мало?

«Нарисуй под левым деревцем маленькую корзинку, а под правым – большую.

Как ты думаешь, поместятся ли вишни с каждого дерева в нарисованную под ним корзинку?

Если нет, предложи выход из этого положения».

В дополнение к нему учитель может использовать по собственному выбору задания № 1, 2, 4, 5 или продолжить работу с картой «страны Математики», с титульным листом, обращением авторов и разворотом «Откуда взялась математика», если работа с ними не закончена до этого урока.

Второй особенностью уроков математики в системе является отсутствие четкого их разделения на привычные этапы: повторение, изучение нового материала, закрепление, а также проверка домашней работы и сообщение о новом задании. Это связано с тем, что практически каждое задание учебника включает в себя элементы всех этих этапов. Особенно важно учитывать, что они несут в себе элементы и нового знания, и повторения, и закрепления в их неразрывной связи. Осознание этого учениками является одним из путей использования в практике принципа осознания процесса учения. Конечно, в каждом из заданий основной акцент можно поставить на одном из этих направлений работы, но исключать полностью остальные, делая задание односторонним, недопустимо – ведь одной из главных особенностей построения заданий является именно их комплексность.

В качестве примера рассмотрим задание № 189 (Учебник «Математика». 3 класс, с. 85), состоящее из семи пунктов:

1) Найди значения выражений, сделав подробную запись.

385 + 497      276 + 567
935 – 676      791 – 493

2) Как ты можешь выполнить действия короче? Сделай такую запись.

3) Найди значения произведений, сделав подробную запись.

13 х 3      22 х 4      41 х 2
243 х 2    312 х 3    424 х 2

4) Подумай, как можно короче записать выполнение умножения. Постарайся предложить свой способ.

5) Настя, Руслан и Костя предложили такие записи.

Настя. 13 х 3 = 10 х 3 + 3 х 3 = 30 + 9 = 39

Костя.

Руслан. 22 х 4 = 80 + 8 = 88

а) Твой способ похож на один из них? Как рассуждал каждый? Какой способ кажется тебе лучшим? Объясни свой выбор.

6) Ты заметил, что для обозначения умножения Костя использовал другой знак?

Запомни: знак (?) – тоже знак умножения.

7) Найди значения произведений в столбик:

112 х 4      123 х 3      413 х 2
333 х 3      242 х 2      334 х 2

Задание посвящено продолжению знакомства с различными формами записи при выполнении умножения.

Легко заметить, что первые три пункта этого задания направлены на активизацию полученных ранее знаний, причем пункты 1 и 2 отражают тему, которой посвящено задание, на примере ее рассмотрения для действий сложения и вычитания многозначных чисел, которое проводилось еще во 2-м классе при изучении записи этих действий на основе двузначных чисел. Пункт 3 закрепляет ту форму записи умножения многозначных чисел на однозначное число, с которой дети уже знакомы.

Пункт 4 – центральный пункт задания: он посвящен попыткам самостоятельного решения проблемы поиска других форм записи этого действия.

Следующий пункт – это помощь тем ученикам, которые не смогли справиться с предыдущим пунктом. В нем эти дети могут рассмотреть и осмыслить разные варианты записи выполнения умножения.

В пункте 6 дети узнают о существовании второго знака умножения, а последний пункт позволяет использовать на практике полученное новое знание.

Таким образом, в целом задание включает повторение давно изученного материала и закрепление недавно изученного, знакомство с новым материалом на основе этого повторения и закрепления, использование этого нового знания в практической деятельности. Введение пункта помощи позволяет индивидуализировать работу учеников, у которых области ближайшего развития существенно различаются. Так, в классе могут быть ученики, которые находят несколько разных способов записи действия умножения, то есть, опираясь на знания, полученные во 2-м классе, оказываются способны действовать по аналогии, используют их в работе с другим действием. Будет группа учеников, каждый из которых предложит, опираясь на те же знания, только один способ записи. Почти всегда в классе бывают ученики, которые не могут самостоятельно предложить свой вариант записи. Для них в первую очередь и предназначен пункт 5 – помощь в выполнении центральной проблемы задания. Иногда встречаются ученики, которые не могут использовать оказываемую помощь. Для них выполнение основной части задания становится доступным после коллективного обсуждения решений, найденных другими учениками.

Рассмотрим практические вопросы, связанные с требованиями к урокам математики в целом и к отдельным его элементам. При разработке планов уроков необходимо иметь в виду следующие требования:

– преобладание поисковой продуктивной деятельности учеников над их репродуктивной деятельностью;
– вовлечение в работу всех учеников на доступном для них уровне;
– вопросы учителя должны давать пищу для ума, стимулировать мысль, давать свободу самовыражения и требовать развернутого ответа;
– преобладание совместной деятельности «ученик – ученик(и)», деятельность «учитель – ученик(и)» возникает в тех случаях, когда дети, несмотря на все усилия, не достигают нужного результата;
– увязывание изучения нового материала с ранее приобретенными знаниями;
– использование предшествующего опыта, организация самостоятельной познавательной деятельности детей на уроке и вне урока (наблюдения, чтение познавательной литературы, подготовка докладов и других сообщений);
– создание благоприятной эмоциональной атмосферы на уроке.

Урок в системе не должен разворачиваться как хорошо накатанная гладкая дорога, где каждый следующий отрезок плавно вытекает из предыдущего. Это скорее должна быть прихотливо извивающаяся горная тропа, на которой за каждым поворотом может встретиться новое, неожиданное. Ведь удивление ребенка – главный импульс к познанию. Чем более разнообразна структура уроков, чем неожиданнее и удивительнее его начало, тем эффективнее дети включаются в учебную деятельность и тем она результативнее.

Мы не считаем нужным и полезным требовать от учителя разработки планов уроков по какой-либо единой схеме. План урока – это результат свободного творчества педагога, опирающегося на особенности детей, с которыми этот план и будет осуществляться. Желательно, чтобы каждый урок, помимо чисто математических проблем, способствовал решению общеучебных задач, таких, как развитие произвольного внимания, умения планировать свою деятельность и т.п. Рассмотрим несколько конкретных примеров такой работы:

– В начале урока дети знакомятся с темой, написанной на доске. Урок заканчивается обсуждением вопроса о том, какие задания относятся к этой теме. Выясняется, соответствует ли названная тема содержанию урока, является ли названная тема основной для данного урока.

– Тема урока не сообщается. Дети в конце урока получают задание сформулировать его тему.

– Учитель называет содержание заданий, которые нужно выполнить на уроке, и дает возможность детям самостоятельно предложить порядок их выполнения. В конце урока обсуждается, насколько удачен оказался предложенный порядок выполнения заданий и сам их набор, предложенный учителем.

Приведем пример. Учитель начинает урок в 3-м классе словами: «Сегодня на уроке мы продолжим работу с задачами, получим новые знания, будем решать системы неравенств, проведем математическую разминку. С чего вы хотите начать урок?» Одни ученики предлагают начать урок с нового материала, другие – с разминки. Большинство высказываются за новый материал, мотивируя выбор тем, что они хорошо отдохнули на перемене и смогут легче понять новое. Те, кто считает, что нужно начать с разминки, мотивируют свой выбор тем, что любят этот вид работы, и тем, что разминка подготовит их к работе с новым материалом. Спор завершается тем, что начало урока нужно посвятить новому материалу. Следующим пунктом дети ставят разминку. Мотивация – после серьезной и трудной работы с новым материалом нужно отдохнуть и получить удовольствие. Затем дети предлагают работать с задачей, мотивируя выбор тем, что это тоже трудная работа, а во время разминки они отдохнули. Последним пунктом становится решение систем неравенств, одна из любимых тем третьеклассников.

Трудность такого варианта вхождения в урок заключается в том, что учителя боятся потерять время, не верят в возможности учеников, стремятся решать проблемы за них. Но если мы хотим воспитать человека, умеющего планировать свои действия, то уже в начальных классах надо стремиться помочь ему научиться такому планированию и выбору лучшего варианта.

– Урок проводится по плану учителя, а затем обсуждается, насколько удачен был предложенный план и какие изменения в него внесут ученики. В конце урока дети выясняют, действительно ли он соответствует плану, и, если нет, отмечают, какие изменения внесены.

Возможны и другие варианты. Уроки в системе Л.В. Занкова направлены на достижение оптимального общего развития учеников в процессе овладения знаниями, умениями и навыками, предусмотренными программой.

Как построить урок так, чтобы каждый ребенок продвинулся в развитии? Каждый урок должен внести свою частичку в развитие ребенка, быть очередным шагом вперед. Легко ответить на вопрос: «Какой урок ценнее, современнее: тот, который построен по одному общему сценарию, или урок с гибкой структурой?» Еще К.Д. Ушинский категорически отвергал уроки, построенные на основе схематизма и трафарета, не побуждающие ребенка к восприятию и осмыслению изучаемого материала, не создающие условия для развития способности к самообразованию. Поэтому хороший современный урок – это то время, когда ребенок познает себя, делает открытия, ищет верные решения, сомневается, радуется, это кусочек его жизни. Такой урок помогает решить следующие задачи:

–  способствует эффективному накоплению каждым ребенком своего собственного личного опыта;
– предлагает детям на выбор различные учебные задания и формы работы, поощряет их к самостоятельному поиску путей решения этих заданий;
– выявляет реальные интересы детей и согласовать с ними подбор и организацию учебного материала;
– дает возможность вести личностно ориентированную работу с каждым ребенком;
– помогает детям самостоятельно спланировать свою деятельность;
– поощряет детей самостоятельно оценивать результаты их работы и исправлять допущенные ошибки;
– учит детей самостоятельно вырабатывать правила поведения и контролировать их соблюдение;
– побуждает детей обсуждать возникающие между ними конфликтные ситуации и самостоятельно искать пути их разрешения.

Несмотря на то что разработка плана – это прерогатива учителя, главное – чтобы в любом виде работы была преобразующая деятельность детей: наблюдение, сравнение, анализ – это является дидактическим стержнем развития.

Вернемся к началу урока, как к одному из важнейших моментов, который выполняет сверхзадачу: концентрацию и развитие внимания, памяти, интереса к уроку.

Первое задание может быть связано с исследованием эпиграфа, подобранного к уроку – с высказыванием выдающихся людей к теме урока или предмету; с постановкой учебной задачи, проблемного вопроса, созданием проблемной ситуации. Основная цель – пробудить интерес, способствовать включению в учебную деятельность всех учеников.

Для начала урока желательно выбирать такие задания, чтобы они включали и повторение изученного, и являлись переходным этапом к изучению новой темы. Кроме того, задания не должны иметь однозначного ответа, так как необходима насыщенная поисковая деятельность. С этой позиции рассмотрим фрагмент урока во 2-м классе по теме «Обратные действия».

На доске:

Учитель. Внимательно рассмотрите данные числа. Что вы можете о них сказать?

Дети. Все эти числа натуральные.

– Их можно разделить на две группы: однозначные и двузначные.

– А можно и на другие две группы – на четные и нечетные числа.

У. Выпишите четные двузначные числа. Что вы можете сказать об этих числах?

Д. 36 меньше 58.

– В числе 36 – 3 десятка 6 единиц, в числе 58 – 5 десятков 8 единиц.

– С ними можно составить различные математические записи.

У. Сделайте такие записи в тетради.

После самостоятельной работы детей на доске появляются следующие записи:

– Подчеркните только выражения.

Вызванный к доске ученик стирает лишние записи, оставляя следующие выражения:

– Выпишите выражения, значения которых вы можете найти, и найдите эти значения.

Через некоторое время, когда все учащиеся нашли значение суммы, равенство выносится на доску: