Пропедевтика введения
определения деления
на этапе содержательного знакомства
с этим понятием

В действующих учебниках математики начальной школы понятие деления изучается параллельно с понятием умножения. Это вызвано тем, что в математике деление является действием обратным умножению, определяется через умножение и с самого начала должно быть прочно связано в сознании детей с умножением.

Первоначально в большинстве ны-не действующих учебников деление рассматривается на содержательном уровне (как разложение поровну, на равные "кучки"). Содержательной стороне деления многие учебники (особенно традиционные) уделяют достаточно большое количество времени. Это вызвано тем, что деление вполне обоснованно считается самой трудной арифметической операцией, изучаемой в начальной школе. Поэтому необходима серьезная подготовительная работа, прежде чем вводить определение деления как математической операции.

Однако чрезмерное увлечение выполнением деления "вручную" приводит к тому, что математическая сущность этой операции теряется и так и не усваивается детьми на должном уровне. Наблюдения за младшими школьниками и выпускниками начальной школы показывают: деление по-прежнему остается самым трудным арифметическим действием. Следствием этого является присутствие в некоторых учебниках таблицы деления, предназначенной для заучивания. Между тем, если усвоено определение деления, то необходимость в подобном заучивании отпадает: для выполнения табличного деления требуется знать только таблицу умножения. Действительно, пусть, например, нужно 8 разделить на 4. Согласно определению деления это значит, что необходимо подобрать такое число, которое при умножении на 4 даст 8. Зная таблицу умножения на 4, легко получить ответ 2. Исходя из сказанного, можно сделать вывод: при изучении данной темы главное внимание следует уделять усвоению определения деления, так как это является основой успешного выполнения в дальнейшем деления любых натуральных (а в последующем и любых действительных) чисел.

Это не значит, что нужно отказаться от рассмотрения деления на содержательном уровне. Подобная работа необходима на первоначальном этапе. Она поможет сориентировать школьников в новом материале и показать целесообразность введения нового действия. Но подобная работа должна быть организована не для того, чтобы детям легче было решить задачу на деление, выполнив рисунок. Выполнение действия на предметном уровне должно подготавливать к усвоению определения деления.

Подобная работа может быть организована еще до начала изучения таблицы умножения, сразу после введения определения умножения. Это не только будет способствовать установлению в сознании детей тесной связи деления с умножением, но и позволит повторить предыдущий материал в связи с изучением новой темы.

Ознакомление детей с содержательной стороной деления дает возможность рассмотрения предметной задачи, подобной тем, которые присутствуют при изучении этой темы во всех проанализированных учебниках. Например: "6 карандашей разложили поровну в 2 коробки. Сколько карандашей оказалось в каждой коробке?" Такая задача достаточно удобно и быстро решается "вручную", то есть каждый ученик может разложить 6 карандашей на 2 равные кучки и посмотреть, сколько карандашей оказалось в каждой. Решить подобную задачу можно также с помощью рисунка, что широко практикуется в школьных учебниках. Однако, если исходить из поставленной цели – подготовка к усвоению определения – то самым важным при решении такой задачи становится не получение ответа путем подсчета количества карандашей в каждой кучке, а его проверка средствами математики. Для этого можно попросить детей проверить, все ли карандаши они разложили. В одной кучке три карандаша, да в другой три. 3 + 3 = 6, или, согласно определению умножения, 3 ґ 2 = 6. Подобная работа дает возможность учителю обратить внимание детей на то, что подсчитывая, сколько получится, если 6 карандашей разделить на 2 равные части, мы ищем такое число, которое будучи повторенным слагаемым 2 раза дает 6, или которое при умножении на 2 дает 6. Тем самым готовим детей к усвоению определения деления.

Рассмотрение подобной задачи дает также возможность учителю обратить внимание детей на то, что чем большее количество предметов нужно будет разделить на равные части, тем более долгим будет процесс раскладывания "вручную", или выполнения рисунка, и тем больше вероятности допустить при этом ошибку. Поэтому необходимо научиться решать подобные задачи математически, не прибегая к предметным действиям. Для подготовки введения определения деления целесообразно предлагать также задачи на деление, в которых требуется догадаться, какое число получится в ответе, и только в случае неудачи обратиться к рисунку. Причем, в первом случае свою догадку необходимо математически обосновать, а во втором случае – выполнить математическую проверку полученного ответа. Например: "8 яблок разложили на тарелки по 4 яблока на каждую. Сколько понадобилось тарелок?" Ответ: 2 тарелки, так как, чтобы получить 8 яблок, нужно 4 яблока повторить 2 раза: 4 + 4 = 8, или 4 ґ 2 = 8. Другой вариант задачи: "9 пирожков разложили поровну на 3 тарелки. Незнайка утверждает, что на каждой тарелке оказалось по 2 пирожка. Прав ли он? А как ты думаешь, по сколько пирожков оказалось на каждой тарелке?" Незнайка не прав, так как 2 + 2 + 2 = 2 ґ 3 = 6 № 9. Правильный ответ 3, так как 3 + 3 + 3 = 3 ґ 3 = 9. Подобное обоснование ответа связывает в сознании детей умножение с делением еще до введения определения деления: дети постепенно усваивают, что в результате деления получается число, которое будучи повторенным слагаемым соответствующее количество раз, или (согласно определению умножения) умноженным на количество слагаемых, дает делимое. Кроме того, очевидно, что подобные задачи позволяют еще раз обратиться к определению умножения в связи с изучением нового материала, тем самым не только готовя к усвоению нового определения, но и закрепляя предыдущий материал. Подобные задачи готовят также и к усвоению таблицы умножения.

Таких задач должно быть немного. При этом полезно организовать работу так, чтобы уже на 3–4-й задаче дети не прибегали к предметным действиям для получения ответа. Каждая версия при такой работе должна быть проверена и обоснована. Например, решая задачу, рассмотренную выше, один из учеников предположил, что понадобилось 3 тарелки. Учитель просит его обосновать свой результат. Тарелок 3. Яблок на каждой по 4. Значит, всего яблок 4 + 4 + 4 = 4 ґ 3 = 12. Но в задаче требовалось разложить 8 яблок. Значит, ответ 3 тарелки – неверный. Очевидно, что для 8 яблок потребуется меньшее количество тарелок. Попробуем разложить 8 яблок на 2 тарелки. На одной – 4, да на другой – 4. Всего 4 + 4 = 4 ґ 2 = 8. Итак, правильный ответ 2 тарелки. Решая подобные задачи, каждый раз целесообразно подчеркивать, что мы фактически искали число, которое при умножении на число, на которое мы делим, дает количество делимых предметов, и проверить правильность результата можно умножением. Таким образом, еще до введения определения деления ведется подготовка к его усвоению.

Формально определение деления целесообразно вводить после того, как оно усвоено на содержательном уровне. В действующих учебниках оно вводится после изучения некоторой части таблицы умножения. Проведенная подготовительная работа позволяет ввести определение деления сразу после таблицы умножения на 2 и в дальнейшем изучать параллельно с умножением. Полезно, чтобы это происходило в большей мере за счет включения заданий на деление в систему упражнений, предназначенных для усвоения таблицы умножения. Это поможет не только значительно разнообразить данный материал, но и будет способствовать лучшему усвоению как умножения, так и деления.

Математическое определение деления выглядит следующим образом: а : в = с, что с ґ в = а. Естественно, подобная запись слишком абстрактна и, следовательно, слишком трудна для младших школьников. Возможно, вследствие трудности определения в некоторых школьных учебниках оно не вводится совсем. Однако, как уже было сказано, усвоение определения необходимо. Понятие не может считаться усвоенным, если не усвоено определение. Если представить определение деления в конкретной форме и в структурированном виде, оно станет вполне доступным для младших школьников. Запись определения деления, включающая способ работы с ним, может быть, например, такой:  12 : 2

1) ищем такое с, что с ґ 2 = 12;
2) с = 6, так как 6 ґ 2 = 12;
3) 12 : 2 = 6.

Для усвоения определения одно-два первых задания целесообразно выполнить в развернутом виде, с проверкой каждого шага. Работа может быть организована, например, так:  8 : 4

1) запиши, какое число с мы ищем; выполни 1-й шаг;
2) запиши, чему будет равно с, и обоснуй свой вывод; выполни 2-й шаг;
3) запиши, чему равно 8 : 4; выполни 3-й шаг.

При выполнении последующих заданий запись постепенно сворачи-вается. Промежуточные записи могут выглядеть следующим образом: 18 : 9 = 2, так как 2 ґ 9 = 18. Выполнив три-четыре задания в таком виде, можно переходить к обычным записям. Контроль при этом будет вестись по конечному результату. Однако при возникновении ошибок или затруднений необходимо вернуть школьника на предыдущие этапы, попросив его устно или письменно подробно обосновать свое решение. Требовать проверки, обоснования своего результата, доказательства его правильности целесообразно время от времени и без возникновения ошибок или затруднений. Это будет способствовать не только укреплению в сознании детей связи деления с умножением, но также формированию умения аргументированно излагать свои мысли, развитию грамотной математической речи, пропедевтике обучения доказательству.