Организация усвоения алгоритма письменного деления на однозначное число и деления с остатком

Формально алгоритм письменного деления на однозначное число заключается в следующем: 2356 4. Выясняем, что цифра, стоящая в старшем разряде – 2, не делится на 4. Присоединяем к ней следующую цифру и делим на 4 число 23. Получаем неполное частное 5 и остаток 3, к которому сносим следующую цифру 5 и делим на 4 число 35 и т.д. Традиционная методика ориентирует на то, чтобы давать детям некоторое количество примеров, в ходе выполнения которых ученики могли бы уловить смысл алгоритма и запомнить его. Такой подход способствует, конечно, тому, чтобы большинство детей усвоили алгоритм, однако этот процесс можно ускорить и увеличить долю сознательности усвоения.

Алгоритм можно сделать более содержательным, если воспользоваться следующей моделью натурального числа: единицы – отдельные палочки, десятки – связанные в пучки 10 палочек, сотни – пучки из 10 пучков-десятков и т.д. Эта модель удобна еще и тем, что может быть широко использована при обучении сложению и вычитанию, то есть научить работать с ней можно уже в первом классе, а к третьему она станет привычным рабочим инструментом. Первый шаг алгоритма можно представить себе так: 2 пучка-тысяч пытаемся разложить на 4 равные части. Этого сделать нельзя. Тогда развяжем их, получим 20 пучков-сотен. Вместе с имеющимися 3 сотнями на 4 равные части нужно разделить 23 пучка-сотен. В результате этого деления получается 5 сотен в каждой части и 3 сотни остается. Их превращаем в десятки, операция повторяется и т.д. Использование этой модели, с нашей точки зрения, позволяет детям лучше усвоить каждый шаг алгоритма, осознать поразрядовый смысл деления (делится не 23, а 23 сотни), понять смысл приписывания последующей цифры к остатку от деления предыдущего разряда. При необходимости можно выполнить 1–2 задания "вручную", раскладывая на равные части поочередно пучки-сотни, пучки-десятки и отдельные палочки. Выполнение подобных предметных действий, которое находит широкое применение в методике начальной школы, в данном случае позволит повысить эффективность и сознательность усвоения алгоритма.

Как видно из всего сказанного выше, для того чтобы воспользоваться этой моделью, необходима хорошая усвоенность деления с остатком, для которого, в свою очередь, необходима усвоенность табличного деления. Организацию усвоения деления с остатком мы рассмотрим ниже. Сейчас не будем исходить из того, что этот материал усвоен.

Предварительная работа с моделью числа подготавливает детей к усвоению алгоритма письменного деления. На этапе последующего объяснения важно, чтобы предметом сознания детей по-прежнему оставался поразовый смысл письменного деления. Поэтому мы считаем удобным использовать на этом этапе в качестве ориентировочной следующую запись:

Частность также записывается в разрядную сетку над делимым. Такая запись используется в некоторых зарубежных учебниках математики. Нам она кажется удобной тем, что позволяет подчеркнуть, что в первом шаге мы делим не 12, а 13 сотен и получаем при этом 3 сотни. Это же должно подчеркиваться учителем и в устных пояснениях, а также найти отражение в контроле над выполнением каждого шага алгоритма. Например, работа может проводиться следующим образом: 2742 : 3.

1) Поместим делимое в разрядную сетку:

2) Что делим в первом шаге? Что получаем? (Так как 2 тысячи нельзя разделить на 3, то превращаем их в сотни и делим 27 сотен на 3. Получаем 9 сотен. В остатке 0 сотен.)

3) Что делим во втором шаге? Что получаем? (Во втором шаге делим 4 десятка. Получаем 1 десяток. В остатке 1 десяток.)

4) Что делим в третьем шаге? Что получаем? (Оставшийся десяток превращаем в единицы – это 10 единиц, да еще 2 единицы. Делим 12 единиц на 3. Получаем 4 единицы. Осталось 0 единиц. Число разделилось полностью.)

После того как алгоритм в общем усвоен, можно переходить к обычной записи, принятой в нашей школе. Естественно, детей придется переучивать. Но так как работа, о которой говорилось выше, предполагает выполнение очень незначительного количества заданий (1–2) с нетрадиционной записью, то переучивание не вызовет серьезных затруднений. Перейдя к обычной записи, еще 1–2 задания необходимо выполнить с подробным комментированием. Эти задания должны включить случай, когда в середине частного получается 0. Как хорошо известно учителям, это наиболее трудный случай письменного деления на однозначное число. Ошибка, когда дети забывают писать 0 в середине частного, является очень распространенной. Чтобы ее избежать, авторы многих школьных учебников предлагают ставить в частном точки, количество которых должно соответствовать количеству цифр частного. Такой выход из положения представляется нам не очень удачным с точки зрения дальнейшего обучения. Этот прием перестанет срабатывать в пятом классе после изучения десятичных дробей. Но так как он прочно усваивается в начальной школе, то дети и в дальнейшем пытаются применить его при делении натуральных чисел. Например: 173 : 5 (5-й класс) – первое неполное делимое 17, значит, в частном будет две цифры. Примерно так будет рассуждать ребенок, перенося знания из начальной школы в новую ситуацию. Эти рассуждения неверны с точки зрения 5-го класса и приводят к трудностям и ошибкам. Раскрытие поразрядового смысла деления с помощью работы с моделью числа, разрядной сеткой и нетрадиционной записью может помочь детям понять и выполнять без ошибок этот трудный случай деления, избежав при этом формирования ненужного стереотипа. Образец подробного комментирования при переходе к обычной записи может быть следующим:

2 тысячи мы не можем разделить на 7 частей. Превращаем их в сотни. Вместе с имеющейся 1 сотней получится 21 сотня. Делим 21 сотню на 7. Получаем 3 сотни. В остатке 0 сотен. Делим следующий разряд – десятки. 2 десятка делим на 7. Получаем 0 десятков, в остатке 2 десятка. Оставшиеся десятки превращаем в единицы. Всего – 28 единиц. Делим 28 единиц на 7. Получаем 4 единицы, в остатке 0 единиц. Число разделилось полностью: 2128 : 7 = 304. Контроль последующих заданий осуществляется по конечному результату. Однако при возникновении ошибок или затруднений учитель может попросить подробно объяснить решение или в случае необходимости вернуться к записи в разрядной сетке.

Теперь рассмотрим организацию усвоения деления с остатком. До изучения деления с остатком под делением понималось деление нацело. Трудность изучения деления с остатком заключается как раз в необходимости перестроить в сознании детей их взгляд на деление. Речь идет о переучивании, а это всегда труднее, чем учить. Между тем в дальнейшем обучении, в частности при изучении признаков делимости, под словом "делится" принято понимать именно деление нацело. Обучение алгоритму деления с остатком предполагает разведение этих двух понятий. Детям нужно объяснить, что с этих пор, когда речь идет о делении, имеется в виду именно деление с остатком. Остаток при этом может быть любой меньший делителя, в том числе и 0. В случаях же, подразумевающих именно деление нацело, специально оговаривается, что делимое, делитель и частное – натуральные числа.

Такое понимание деления очень важно, так как оно является пропедевтикой понимания деления в средней школе, где после изучения дробей можно разделить любые два числа. Если в начальной школе уделить этому вопросу недостаточно внимания, то еще довольно долго после изучения дробей у детей будет возникать сомнение в правильности решения в случаях, когда два натуральных числа нельзя разделить нацело.

Содержательной стороной усвоения этого алгоритма должно стать понимание факта, что для любых двух чисел можно найти результат деления, а также того, что это новое понятие является расширением прежнего, то есть деление нацело является частным случаем деления с остатком (остаток равен 0). Это тем более важно, что такой подход соответствует пониманию этого вопроса в математике. Необходимо также сформировать в сознании детей четкое представление о том, что остаток должен быть обязательно меньше делителя.

Приступая к работе над новой темой, детей нужно подготовить к восприятию нового понимания деления и к усвоению нового алгоритма. Это включает следующие моменты: 1) можно найти результат деления, даже если нацело разделить не получается; 2) для этого нужно подобрать такое число, которое при умножении на делитель дает число, максимально близкое к делимому, но не превышающее его, то есть если найденное число увеличить на 1, то при умножении на делитель получится число большее, чем делимое;

3) остаток должен быть меньше делителя.

В соответствии с тем, что принято в современной методике начальной школы, ученикам можно предложить следующую задачу: "Имеется 15 яблок и 4 тарелки. По сколько яблок нужно положить на тарелки, раскладывая поровну, чтобы разложенным оказалось максимальное число яблок? Сколько яблок останется?" Такая задача
возвращает детей к предметному смыслу деления: разделить – разложить на равные части. Здесь мы тоже раскладываем на равные части, но разложить все 15 яблок на 4 тарелки поровну не удается, получается остаток. Решая эту задачу, есть возможность показать и общие, и различные черты нового и прежнего подхода к делению. Работа над задачей может также включать и вопрос: "А если бы яблок было 16, какое максимальное количество можно разложить на 4 тарелки, раскладывая поровну? Сколько бы яблок осталось?" Это дает возможность подчеркнуть, что деление нацело – это частный случай деления с остатком, а деление с остатком включает случай, когда остаток равен 0. Оговорка в условии задачи о том, что яблок на тарелках должно оказаться максимально возможное количество, помогает при решении сориентировать детей в принципе подбора неполного частного. Выяснив, что яблок на тарелки нужно класть по 3, необходимо разобрать, почему отвергаются другие варианты. Для этого можно обсудить следующие вопросы: "А правильно ли будет положить по 2 яблока?" – "Нет, так как оставшееся количество яблок позволяет положить еще по одному яблоку на каждую тарелку". – "А по 4 яблока?" – "Нет, так как в этом случае яблок не хватит, чтобы положить на каждую тарелку поровну". Решение задачи оформляется записью, обычной для деления с остатком: 15 : 4 = 3 (ост. 3). После такой работы дети подготовлены к восприятию нового алгоритма. Ориентировочная запись может иметь следующий вид.

17 : 5

Такая запись отражает и принцип подбора неполного частного, и то, что остаток обязательно должен быть меньше делителя. При необходимости она может включать в себя и словесные пояснения: 17 : 5.

2) 17 : 5 = 3 (ост. 2) – найдем остаток;

При этом полезно еще раз обсудить вопрос, почему остаток меньше делителя. Детям необходимо объяснить, что при разложении на равные части остаток больший или равный делителю в свою очередь можно разложить на соответствующее число равных частей, а по смыслу деления с остатком остаток – это то, что разложить на нужное число частей уже не удается.

Ориентировка должна включать в себя и случай, когда остаток равен 0. Соответствующая запись.

15 : 5

2) 15 : 5 = 3 (ост. 0);

Используя предложенную выше развернутую запись, решаем 1–2 примера. После этого целесообразно предложить еще 1–2 подобных стандартных задания на деление с остатком и решить их, используя обычную, принятую в начальной школе запись с подробным проговариванием вслух каждого шага. Такое количество заданий мы считаем достаточным, чтобы дети в общем усвоили как сам алгоритм, так и осознали все то, что он включает.

В последующие задания целесообразно включать помимо примеров на полное воспроизведение алгоритма примеры, проверяющие усвоенность последнего его шага: остаток меньше делителя. Это могут быть задания типа: "Перечисли, какие могут быть остатки при делении числа на 5", – или более сложные задания: "Докажи, что в выражении а : 4 = 5 (ост. 4) есть ошибка". Такие задания призваны еще раз обратить внимание детей на то, что остаток при делении должен быть меньше делителя.