Светлана ФРОЛОВА,
учитель прогимназии № 45,
г. Москва

Транзитивность

4-й класс

Тема. «Транзитивность как одно из свойств элементов математической логики на примере конкретных отношений».

Цели. Познакомить учащихся со свойством транзитивности (на примере конкретных отношений), с изображением транзитивного свойства на графе; учить читать графы, на которых изображены отношения свойств транзитивности, строить графы различных отношений, обладающие свойством транзитивности.

Оборудование. Учебник «Математика. 4 класс» (авт. Н.В. Рудницкая); тетрадь на печатной основе «Математика. 4 класс. № 2» (авт. Т.В. Юдачева); карточки с заданиями.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Сообщение темы и целей урока

Учитель. Какие разделы существуют в науке математике?

Дети. Геометрия, арифметика, алгебра, элементы математической логики.

У. Сегодня мы продолжим изучение математики в разделе «Элементы математической логики».
Прочитайте слова на доске.

На доске:

– Какие из этих слов являются математическими терминами?

Д. Симметричность, рефлексивность.

У. Объясните, почему?

Д. Они обозначают свойства отношений.

У. Сегодня мы продолжим разговор о свойствах отношений, повторим известные свойства – рефлексивность и симметричность – и узнаем новое свойство отношений.

III. Повторение пройденного материала

Графы изображены на доске:

У. Какими свойствами обладают эти графы?

Д. Свойством рефлексивности.

У. Почему?

Д. На графе изображена петля.

У. Какое отношение изображено на графе?

Д. Быть равным.

У. Составьте и прочитайте высказывания.

Д. 125 равно 125; 500 равно 500.

У. Какое свойство является рефлексивным?

Д. Любое число равно самому себе.

У. Приведите примеры отношений, которые обладают рефлексивным свойством.

Д. Быть равным по длине, быть равным самому себе, быть равным по площади, число делится само на себя без остатка, быть равным по периметру самому себе.

У. Приведите примеры отношений, которые не обладают рефлексивным свойством.

Д. Быть братом, быть сестрой, быть больше, быть меньше.

У. Как рефлексивное свойство отражается на графе?

Д. Петля на графе.

На доске:

– Каким свойством обладает этот граф?

Д. Свойством симметричности.

У. Почему?

Д. У каждого ребра есть противоположное ребро.

У. Какое отношение задано на графе?

Д. Быть братом.

У. Составьте и прочитайте эти высказывания.

Д. Если Дима – брат Пети, то Петя является братом Димы. Если Дима – брат Коли, то Коля является братом Димы. Если Коля – брат Пети, то Петя является братом Коли.

У. Какое свойство является симметричным?

Д. Если один человек является братом другого, то, следовательно, второй – брат первого, если они мальчики.

У. Приведите примеры отношений, которые обладают симметричным свойством.

Д. Быть братом, если все дети – мальчики; быть сестрой, если все дети – девочки; быть параллельными; быть равными.

У. Какие отношения не обладают симметричными свойствами?

Д. Быть больше, быть меньше, быть тяжелее, делиться без остатка на ... . Быть братом или сестрой, если есть и девочки, и мальчики.

У. Как свойство симметричности изображено на графе?

Д. Для каждого ребра имеется противоположное ребро.

Учитель раздает детям карточки.

Карточка 1

Двое учащихся на индивидуальных досках выполняют эту работу. Затем дети проверяют задание.

– При каком условии отношение на графах будет обладать свойством рефлексивности? свойством симметричности? У кого задание выполнено так же, как на досках?
Прочитайте задание 53 на странице 21 в тетради на печатной основе. Какими свойствами обладает каждое отношение?
Заполните таблицу. Если отношение обладает указанным свойством, поставьте знак «+»; если нет, поставьте знак «–».

Два отношения дети разбирают с комментариями, два – выполняют самостоятельно.

IV. Знакомство с новым материалом

У. Давайте посмотрим граф отношений «больше» между числами 12, 8, 46.

На доске:

– Составьте и прочитайте высказывание.

Д. Если 46 > 12, 12 > 8, то 46 > 8.

У. Обладает ли свойством рефлексивности отношение «больше»? Почему? Свойством симметричности? Почему?

Дети отвечают.

– Неужели это отношение «больше» останется без свойства? Отношение: когда одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое больше третьего, – обладает транзитивным свойством.

На доску прикрепляется карточка со словом транзитивность.

– На графе ребра, идущего от 46 к 12 и от 12 к 8 образуется цепь (учитель рисует синим цветом). Ребро, идущее от 46 к 8 замыкает эту цепь и называется замыкающим (учитель рисует зеленым цветом). Свойство транзитивности на графе отражается так: если цепь состоит из двух ребер, то на графе есть и замыкающие ребра.

V. Первичное закрепление нового материала

У. С каким новым свойством вы познакомились?

Д. С транзитивным свойством.

У. Какое отношение обладает транзитивным свойством?

Д. Быть больше.

У. Что это значит?

Д. Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего.

У. Как выражается на графе свойство транзитивности?

Д. Если есть цепь, состоящая из двух ребер, то на графе есть и замыкающее ребро.

У. Откройте учебник на странице 113. Прочитайте задачу 425:

Цена блокнота 39 рублей, ручки – 7 рублей и тетради – 2 рубля. Прочитайте все высказывания, изображенные на графе отношения «дороже». Какими свойствами обладает это отношение?

– Что такое Б? Р? Т? Какое отношение задано?

Д. Быть дороже.

У. Составьте и прочитайте высказывания, изображенные на графе, начиная со слов: «Если блокнот дороже ручки, а ручка дороже тетради, то блокнот дороже тетради». Обладает ли оно свойством рефлексивности?

Д. Нет.

У. Обладает ли оно свойством симметричности?

Д. Нет.

У. Почему?

Д. Если один предмет дороже второго, то второй не может быть дороже первого. Предмет не может быть дороже самого себя.

У. На доске – граф к следующему заданию: Игорь, Петя и Сергей – родственники, братья.

На доске: