ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ"

Ирэн АРГИНСКАЯ,
Елена ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекция 8.

Особенности методики работы по обучению учащихся решению текстовых задач

Одной из важнейших проблем обучения математике является формирование умения решать текстовые задачи.

Вместе с тем это и одна из наиболее сложных проблем, с которой сталкивается учитель при обучении детей этому предмету.

И это естественно, так как решение задач вообще и математических в частности по своей сути – процесс творческий, требующий продуктивной деятельности.

Если рассматривать формирование умения решать задачи с точки зрения требований, предъявляемых школой, то достаточно научиться решать набор так называемых стандартных задач, используя многократное повторение задач каждого типа вплоть до выработки и запоминания образца решения.

В этом случае действительно можно говорить даже не о формировании умения, а об автоматизированном навыке решения задач, как это делает Л.Г. Петерсон в своем пособии для учителей первых классов.

Если же рассматривать формирование этого умения с точки зрения жизненных потребностей человека, то в первую очередь необходимо заботиться о творческом подходе к решению задач – ведь жизнь заполнена решением самых разных задач, которые она ставит или которые сам человек ставит перед собой.

Следует отметить, что постепенно школа начинает осознавать недостатки присущего ей подхода к овладению умением решать задачи. Появляются пособия, которые помогают учителю использовать в процессе обучения детей нестандартные задачи. С нашей точки зрения, удачными являются пособия Г.Г. Левитас «Нестандартные задачи по математике в 1 классе», (во 2-м, 3-м, 4-м классах).

Что можно понимать под словами «стандартные задачи» и «нестандартные задачи»? С одной стороны, стандартными считают типы задач, которые включены в требования к знаниям учеников начальной школы, с другой же стороны, это задачи любого типа, которые решаются в большом количестве, в результате чего появляется и закрепляется в памяти образец решения таких задач.

Мы стремимся сформировать у детей истинное умение решать задачи, которое заключается в способности решить любую задачу доступного для данного возраста уровня трудности, если в ней отсутствуют незнакомые понятия и для ее решения не требуется выполнять незнакомые операции.

Для начальной школы эти требования обозначают, что в задаче каждое слово должно быть детям понятно и решение задач должно требовать выполнения изученных на данном этапе операций.

Что же такое решение задачи? Хорошо известны выдвинутые Д. Пойа этапы решения задач:

1) осознание постановки задачи;
2) составление плана решения (гипотеза решения);
3) осуществление составленного плана;|
4) исследование полученного решения.

Только выполнение всех этих этапов позволяет считать решение завершенным полностью.

Анализ школьной практики свидетельствует, что преимущественное внимание уделяется второму и особенно третьему этапам. Первый этап считается пройденным, если ученики смогли сказать, что в задаче дано и что нужно найти.

Последний, четвертый, этап зачастую совсем отсутствует или существует в виде элементарной проверки правильности выполнения действий.

Мы исходим из того, что все четыре этапа решения задачи одинаково важны. В начале знакомства с задачами особенно важен первый этап – осознание постановки задачи, ее смысла. В это понятие мы включаем:

– умение отличить текстовую задачу от других заданий;
– умение выделить основные части задачи;
– умение соотнести их взаимное расположение между собой;
– всесторонний анализ ситуации, представленной в задаче;
– выделение математических отношений, в ней заложенных.

Особое внимание именно к этим аспектам диктуется тем, что главным в умении решать задачи является полноценная аналитическая деятельность, выявляющая все необходимые для решения связи. Процесс же решения задач, с которыми сталкиваются дети в начале обучения, не дает реальной возможности им даже заметить процесс анализа ситуации, настолько быстро он протекает в силу их простоты на житейском уровне. Задания же, которые концентрируют внимание учеников на исследовании предлагаемых текстов, а не требуют сразу выполнения решения задачи, помогают осмыслить эти связи как таковые.

Наиболее продуктивный путь построения такой работы – коллективное обсуждение предложений и ответов самих учеников, найденных в результате самостоятельной деятельности.

Второй и третий этапы решения задачи, нам представляется, вполне понятны учителям, поэтому сразу перейдем к последнему этапу – исследованию решения. С нашей точки зрения, оно обязательно должно включать следующие позиции:

– соотнесение решения со связями, выявленными при анализе текста задачи;
– является ли найденное решение верным, а если нет, какого рода допущена ошибка – логическая или вычислительная;
– является ли найденное верное решение единственным или нужно найти другие верные решения;
– при каких данных задача имеет решение, а при каких нет;
– существуют ли такие данные, при использовании которых решение задачи становится проще или сложнее.

Совершенно ясно, что овладение всеми этапами решения задач протекает не только в начальной школе, но и на дальнейших ступенях обучения.

Остановимся на структуре работы с задачами, которая предлагается в занковской системе.

1 класс

Подготовительный этап. Овладение навыком чтения. Формирование необходимых мыслительных операций. Овладение умением участвовать в коллективной деятельности.

2 класс

Начальный этап. Обучение детей работать с текстом задачи. Знакомство с терминами: задача, условие и вопрос задачи, данные и искомое задачи, простая и составная задачи, обратная задача, краткая запись задачи.

3 класс

Центральный этап. Обучение сравнению задач, сходных по сюжету, но различных по математическому содержанию; преобразованию задач, приводящему к их упрощению.

4 класс

Заключительный этап. Обучение сравнению задач, различных по сюжету, но одинаковых по математическому содержанию (выделение обобщенных типов задач); преобразованию задач, приводящему к их усложнению.

Здесь указаны новые направления работы с задачами, но необходимо иметь в виду, что на каждом этапе продолжается работа и с направлениями, начатыми на предыдущих этапах.

Основная проблема начального этапа – научить детей работать с текстом задачи. Для ее достижения необходимы три основных условия, которые перечислены в подготовительном этапе.

Необходимость существования этих условий требует значительной отсрочки начала основной работы с задачами. Для четырехлетней начальной школы эта отсрочка составляет весь первый год обучения.

Если овладение навыком чтения в основном происходит на уроках обучения грамоте и в гораздо меньшей степени на других уроках, то овладение необходимыми мыслительными операциями и навыками коллективной деятельности в равной степени происходит при выполнении каждого задания, представленного в учебниках системы для 1-го класса независимо от предмета, изучению которого они посвящены. Не является исключением и учебник математики, в котором это формирование происходит на математическом материале, когда дети активно добывают знания, рассуждают, спорят, выдвигают и обосновывают свои пути решения возникающих проблем, сравнивают свое решение с другими путями и их обоснованиями.

Вместе с тем в учебнике присутствуют и специальные задания, целенаправленно готовящие детей к специфике работы с задачами. Перечислим виды таких заданий:

– восстановление развития сюжета по серии рисунков;
– составление различных рассказов математического содержания к одному сюжетному рисунку;
– завершение серии рисунков до полного восстановления сюжета.

Остановимся на каждом из этих видов.

Анализ любой задачи начинается с осознания последовательности отраженных в ее тексте событий. Поэтому учителю важно знать, могут ли первоклассники установить связи между этапами сюжета и логически верно изложить события.

Проанализируем с этой точки зрения задание 7 (из первой части учебника).

Придумай рассказ к рисункам.

Рисунки:

5 рисунков в 2 ряда (1 ряд – 3 рис., 2 – 2 рис.): рис. 1 – за столом сидит очень толстый мальчик, стол заставлен едой, и он с жадностью ест; рис. 2 – тот же мальчик лежит больной в постели, держится за живот, рядом с кроватью лежит пудель; рис. 3 – по улице едет машина «Скорой помощи»; рис. 4 – доктор сидит у кровати и осматривает мальчика; рис. 5 – мальчик еще в кровати, но веселый и сильно похудевший.

Установить связь между первыми двумя рисунками не представляет, по нашему опыту, труда. Ясно, что мальчик объелся и заболел. Однако рассмотрение третьего рисунка может привести к расхождению во мнениях. Что обозначает появление «Скорой помощи»: она увозит мальчика в больницу или везет врача, который будет лечить его дома? Уточнение развития сюжета косвенно подсказывают следующие рисунки, многие детали которых свидетельствуют о том, что мальчика лечили дома. Вместе с тем если ребенок утверждает, что между двумя последними рисунками больного увозили в больницу, просто такие рисунки пропустили, он тоже будет прав.

Поскольку это первое задание такого типа, лучше выполнять его, коллективно обсуждая каждый этап развития рассказа, все предложения и дополнения детей.

Выполнение задания 19 требует принципиально другого подхода, так как его содержание опирается на хорошо известную детям сказку «Красная Шапочка» (за 1–2 дня до выполнения задания желательно проверить, все ли дети с ней знакомы, и освежить в их памяти эту сказку).

№ 19. Правильно ли расположены иллюстрации к сказке? Если нет, покажи стрелками верный порядок.

Рисунки:

6 рисунков в 2 ряда: рис. 1 – Красная Шапочка в лесу встретила Волка; рис. 2 – мама дает Красной Шапочке корзинку с гостинцами для бабушки; рис. 3 – бабушка лежит в кровати; рис. 4 – Красная Шапочка собирает в лесу цветы; рис. 5 – бабушка провожает домой Красную Шапочку; рис. 6 – Волк лежит в бабушкиной кровати, Красная Шапочка стоит рядом с корзинкой.

Выполнение задания рекомендуем начать с самостоятельной работы детей и только после ее окончания обсудить полученные результаты.

Перейдем к обсуждению второго вида заданий из названных выше – составлению разных рассказов математического содержания к одному сюжетному рисунку. Основная цель выполнения этих заданий – сформировать у учеников умение рассматривать одну и ту же ситуацию с принципиально разных позиций, что очень важно для предстоящей работы с задачами.

№ 97 (ч. 1)

Составь математический рассказ к рисунку.

Рисунок

На ветке сидят 4 птицы, правее ветки летят еще 2 птицы.

При выполнении задания детьми могут быть предложены, например, такие рассказы:

Рассказ 1. На ветке в саду сидят 4 птицы, а рядом летят еще 2. Всего в саду 6 птиц.

Рассказ 2. На ветке отдыхали 6 птиц. Две птицы вспорхнули и полетели, а 4 остались на ветке.

Рассказ 3. Летели 6 птиц. 4 сели отдохнуть на ветку, а 2 полетели дальше.

Рассказ 4. На рисунке 6 птиц, но 2 хотят улететь. Когда они улетят, останется 4 птицы.

Конечно, ученики могут предложить и другие рассказы к этому рисунку, заметив другие признаки различия у группы птиц.

Все рассказы, предложенные детьми или учителем (в случае если ученики предлагают ограниченное количество вариантов), обязательно нужно обсудить, сравнить с точки зрения их различия и сходства. При этом большое внимание нужно обратить на те случаи, когда рассказы практически не отличаются друг от друга ничем, кроме отдельных несущественных деталей (например, при выполнении рассматриваемого задания один ученик сказал: «птицы», а другой – «желтые птицы», во всем же остальном различий нет). С первых же шагов ученики должны понять, что такие рассказы не могут считаться разными.

Третий вид заданий по существу является прямым подходом к понятию задачи, так как ставит учеников в ситуацию наглядного изображения двух данных и поиска (выбора) соответствующего им искомого. Рассмотрим фрагмент урока, на котором дети выполняли задание 30 (1-й класс, ч. 4).

Учитель. Откройте страницу 18 и найдите задание 30. Что вы можете рассказать о рисунках в этом задании?

Дети. Здесь тюлени нарисованы, много тюленей.
– Нет, это не тюлени, это морские львы, они выступают в цирке, играют в мяч.
– Здесь пять картинок, а одной картинки нет, только рамочка.
– Картинки в два ряда нарисовали, вверху две картинки и пустая рамка, а внизу еще три.

У. Посмотрите внимательно на верхний ряд картинок и расскажите о них.

Д. На первой – 4 тюленя играют с мячом. А на второй еще 2 ползут к ним, они тоже хотят поиграть.
– И вовсе не обязательно они туда ползут – может быть, совсем в другое место!
– Нет, они ползут туда – у них мордочки туда смотрят, они спешат, хотят тоже поиграть.

У. Так как же вы решили – морские львы на второй картинке ползут к тем, кто играет с мячом, или нет?

Д. Да, они туда ползут!
– Тоже будут играть в мячик!

У. Теперь подумайте, каким рисунком из нижнего ряда можно закончить историю о морских львах, и соедините его с пустой рамкой стрелкой.

Дети самостоятельно выполняют задание.

– Люба, какой ты выбрала рисунок?

Люба. Средний. На нем 6 львов играют в мяч. Было 4, да еще 2 приползли, вот и получилось 6.

У. А ты, Вася, выбрал другой рисунок?

Вася. Я выбрал, где 2 зверя играют. Я хочу, чтобы тюлени на втором рисунке уползали. Тогда сначала играли 4 тюленя, 2 уползли, вот и осталось 2.

У. Как вы думаете, может так быть?

Д. Может, только здесь рисунок нужен не такой. Его нужно, наоборот, повернуть, тогда будет видно, что тюлени наигрались и уходят.

У. А третий рисунок кто-нибудь выбрал?

Д. Нет, он не подходит! Пять никак не получается.

У. А вы все-таки подумайте, может быть, можно сделать так, чтобы и этот рисунок подошел!

Длительная пауза, дети сосредоточенно думают, морщат лбы, грызут ручки.

Паша. Я придумал, только тогда не хватает одного рисунка, нужно четыре. В цирке играли в мяч 4 морских льва. Потом приползли еще 2 морских льва, а 1 устал и уполз. Тогда сначала нужно к четырем прибавить 2, а потом отнять 1 и получится 5.

У. Хорошо Паша придумал?

Д. Да!
– Хорошо!
– У него здорово получилось!
– Он все правильно придумал!

У. Какого же рисунка не хватает?

Д. Чтобы 1 зверь уползал!
– У него мордочка должна быть в правую сторону.
– Он должен ползти направо.

У. Напомните мне, как мы получили 5 морских львов?

Ира. Сначала сложим 4 и 2, получится 6, а потом вычтем 1 и будет 5.

Основные проблемы начального этапа работы с задачами заключаются в следующем:

– выявление признаков задачи и осознание термина «задача»;
– овладение умением работать с задачей;
– знакомство с простыми задачами и их решение;
– постепенный переход к составным задачам;
– овладение умением аналитического разбора задачи и создания модели такого разбора.

Решение простых прямых задач с точки зрения продвижения детей в развитии и формирования истинного умения решать задачи дает крайне незначительный эффект, поэтому важно установить роль таких задач в курсе математики по системе Л.В. Занкова, выявить ситуации, в которых использование таких задач желательно или даже необходимо. Рассмотрим основные варианты таких ситуаций.

Прямые простые задачи используются:

1) для первоначального осознания смысла вновь вводимой математической операции или для более глубокого проникновения в содержание уже знакомой операции;

2) в случаях когда основное внимание детей должно быть сосредоточено не на решении задачи, а на других связанных с ней проблемах, например, при знакомстве с частями задачи;

3) для индивидуальной работы с теми учениками, для которых более сложные задачи представляют непреодолимую трудность. Умелое и своевременное включение таких задач в канву урока позволит и этим детям вносить свой вклад в общую работу, сохранять уверенность в своих силах и постепенно продвигаться вперед.

Главная цель 2-го класса в рассматриваемой теме – сформировать у детей начальное умение работать с текстом задачи.

Путь к ее достижению начинается со знакомства с этим видом заданий в сопоставлении их с другими, уже знакомыми детям заданиями. На основе такого сравнения ученики выделяют основные признаки новых заданий, среди которых важнейшим является отсутствие прямого указания на те действия, которые необходимо выполнить, чтобы получить требуемый ответ.

Помимо названного выше основного признака задачи, дети выделяют наличие определенного сюжета, то есть задача рассматривается на данном этапе как задание-рассказ, в котором необходимо узнать ответ. Этот признак, конечно, не является существенным, но для младших школьников он достаточно важен, так как позволяет глубже осознать существенные признаки задачи.

Дети могут найти и свои дополнительные признаки, которые помогут им определять рассматриваемый текст как задачу. Если они не мешают формированию правильного понятия, не сужают область его определения, отвергать их не следует. По мере углубления представления о задаче такие признаки или отпадут, или, наоборот, обогатят это понятие. Примером такого обогащения, возникшего по инициативе учеников, может служить соответствие друг другу условия и вопроса текста.

После такого первого знакомства с задачей как специфическим математическим заданием начинается исследование текста задачи с целью выделения тех «кирпичиков», из которых он построен. Первый этап этой работы связан с выделением условия и вопроса (без предварительного введения терминов). Дети сами пытаются разделить текст задачи на две смысловые части и обосновать предложенное деление. Первоначально проблема решается элементарно, так как задачи состоят из двух предложений, и по этому формальному признаку легко распадаются на нужное число частей.

Однако уже очень скоро опоры на количество предложений оказывается недостаточно – ведь текст предлагаемых задач состоит из трех и более предложений, а нужно выделить две части. Все предложенные варианты необходимо обсудить с точки зрения соответствия условиям задания и обоснованности решения проблемы.

Затем вводятся термины условие задачи и вопрос задачи, которые связываются с выделением части, содержащей информацию о том, что в задаче известно, и части, которая сообщает, что нужно узнать. Аналогично строится и работа по выделению данных и искомого.

Затем работа с задачами осуществляется в трех основных направлениях:

– анализ текста с точки зрения его принадлежности к задачам;
– установление взаимосвязи между всеми найденными частями задачи;
– осознание роли каждой из частей в тексте задачи.

Второе направление осуществляется наблюдениями за взаимным расположением в задаче условия, вопроса, данных и искомого. Результатом проведенных наблюдений становится осознание того, что данные всегда находятся в условии, а искомое – в вопросе.

Помимо установления взаимосвязи между условием, вопросом, данными и искомым происходит и продвижение в третьем из названных выше направлений. Здесь мы выделяем две основные позиции:

1) осознание того, что отсутствие хотя бы одной из перечисленных частей задачи приводит к тому, что она перестает существовать как таковая;

2) осознание связи между изменением любой части задачи и ее решением.

Первая из них реализуется в работе с текстами, в которых отсутствует тот или иной элемент (часть) задачи. Она заключается в анализе предложенных текстов, приводящем к выявлению отсутствующей части задачи, и дополнении предложенного текста до задачи.

Продвижение по второй позиции осуществляется при выполнении заданий, в которых главным содержанием являются наблюдения за изменениями (или их отсутствием) в решении задачи при изменении одной из ее частей.

Мы рекомендуем использовать три варианта таких заданий:

1) задачи с неизменным условием и разными вопросами;
2) задачи с неизменным вопросом и изменяющимся условием;
3) задачи с изменяющимися данными при сохранении смысла условия и неизменном вопросе.

В качестве примера приведем краткое описание возможных вариантов выполнения задания, в котором рассматриваются задачи с одинаковыми условиями и разными вопросами.

163 (162). 1) Прочитай задачи и сравни их условия.
У Кати 8 кукол и 6 игрушечных зверюшек. Сколько всего игрушек у девочки?
У Кати 8 кукол и 6 игрушечных зверюшек. На сколько у нее больше кукол, чем зверюшек?

2) Сравни вопросы задач. Что можно о них сказать?

3) Реши задачи. Сравни решения. В чем их различия? От чего это зависит?

4) Подойдет ли к условию этих задач вопрос: на сколько меньше у Кати зверюшек, чем кукол?

5) Реши новую задачу. Что ты заметил?

Текст задания уже представляет один из возможных вариантов построения работы с ним, характеризующийся постоянной сменой индивидуальной и коллективной деятельности детей с задачами.

Однако возможны и другие варианты работы с заданием. Например, задачи могут рассматриваться не параллельно, а последовательно, после чего проводится общее обсуждение, центральным моментом которого являются высказывание предположений о том, будет ли решение новой задачи таким же или другим, и попытки обосновать эти мнения. При этом решение второй задачи выступает в качестве проверки высказанных предположений.

Аналогично строится работа с группами задач, отличающихся друг от друга некоторыми элементами.

Легко заметить, что в обучении математике, в том числе в работе с задачами, активно используется сравнение рассматриваемых объектов. Это имеет место и при работе с текстом задач, и при их решении.

Важным новым направлением работы с текстом задачи является знакомство с его краткой записью. Мы рассматриваем краткую запись задачи как эффективное средство облегчения поиска путей решения задачи, в котором находят отражение глубина и полнота анализа математических связей, заложенных в задаче. Однако, по нашему мнению, это происходит только в том случае, когда дети самостоятельно и сознательно проходят весь путь сокращения текста задач до полного исключения всех второстепенных деталей, а не получают в готовом виде конечный результат этого процесса, использование которого чаще всего воспринимается детьми как ненужная, насильственно навязанная учителем работа.

Маленькие школьники воспринимают каждое слово в задаче как важное, не видят в ней «лишних» слов. Именно поэтому первым толчком к сокращению текста задач мы считаем использование специально составленных задач, где таких несущественных деталей так много, что они значительно мешают не только пониманию смысла задачи, но и осознанию предложенного текста как задачи.

Например, такая задача:

В густом и тенистом саду на большой круглой клумбе среди других цветов расцвели 28 роз. Они были белые, розовые, красные, бордовые, желтые, чайные. Некоторые из них полностью раскрыли свои венчики, а у других только начали раскрываться тугие бутоны. Тихим и ясным летним утром в воскресенье к клумбе подошла девочка в нарядном голубом платье и с большим белым бантом в длинных русых волосах. Большими острыми ножницами она срезала 11 роз и отнесла их маме. Сколько роз осталось на клумбе?

В таком специальном тексте дети легко найдут большое количество «лишних» слов, не имеющих значения для решения задачи и даже мешающих найти его. В результате останется текст, близкий к обычной формулировке задачи.

После коллективной работы нужно предложить каждому ученику самостоятельно сократить похожий текст, составленный учителем, представленный в учебнике или рабочей тетради.

Следующий шаг – сокращение текстов обычных задач до словесной записи их основы. Например, задачу: «На клумбе распустились 28 роз. 11 из них срезали. Сколько роз осталось на клумбе?» – можно сократить до такой записи:

Было – 28 роз.
Взяли – 11 роз.
Сколько осталось?

Конечно, дети приходят к такой записи постепенно и не все одновременно, каждый выполняет сокращение текста настолько, насколько считает возможным, постепенно продвигаясь к максимальной лаконичности. Когда ученики в основном освоят краткую словесную запись, начинается знакомство с общеупотребительными условными обозначениями, используемыми в краткой записи задачи.

Знакомство с условными обозначениями ни в коем случае не следует воспринимать как сигнал к обязательному переключению всех учеников со словесного способа краткой записи на знаковую. Каждый ребенок имеет право выбрать и использовать тот способ, который ему больше нравится, является более понятным.

Затем ученики знакомятся с такими способами краткой записи задачи, как схема, таблица, рисунок и чертеж.

После знакомства с разными способами оформления краткой записи текста задачи необходимо, с одной стороны, стимулировать учеников на их овладение, с другой же предоставить каждому ребенку право выбора того из них, который представляется ему самым лучшим и понятным. В сочетании этих противоположных подходов, очевидно, следует исходить из такого здравого рассуждения: каждый ученик наиболее продуктивно будет использовать способ, который ему нравится по тем или другим причинам, но чтобы понять, какой же способ для него предпочтителен, необходимо каждый из них попробовать. Поэтому задания на составление краткой записи должны носить разный характер – от таких, в которых ученики должны использовать только названный в нем способ, до полной свободы выбора способа самим учеником.

Большое внимание уделяется задачам с недостающими и избыточными данными и их преобразованию в обычные задачи. Оно объясняется тем, что предоставляет широкие возможности для анализа и преобразования текстов.

Рассмотрим некоторые из возможных вариантов преобразований задачи с недостающими данными.

Исходный текст: Три хоккейные команды забили за игровой сезон 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы. Сколько шайб забила третья команда?

Дополнив условие задачи любыми данными о второй команде, дети получат возможность найти ответ на вопрос исходного текста.

Например, простейший вариант такого дополнения:

Три хоккейные команды забили за игровой сезон 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы, другая – 25. Сколько шайб забила третья команда?

Возможны и более сложные варианты дополнения условия, когда решение возникающей задачи требует большего количества шагов.

Замена вопроса исходного текста на вопросы:

• Сколько шайб забили остальные команды вместе?

• На сколько шайб больше забили вторая и третья команды, чем первая?

В результате получаем тоже решаемую задачу.

Аналогично строится и работа с задачами с избыточными данными.

Основная ценность работы с задачами с недостающими и с избыточными данными заключается в возможности получения большого количества вариантов их преобразования в полноценные решаемые задачи разного уровня трудности, что дает возможность каждому ученику действовать на доступном ему уровне. Наибольший эффект эта работа даст, если коллективное обсуждение исходного текста, которое приводит к заключению, что в задаче не хватает данных, сменяется самостоятельной работой по ее преобразованию, а затем возвратом к коллективному обсуждению получившихся задач.

Большое место занимает работа с обратными задачами, которые являются основными представителями задач, имеющих сходный сюжет, но различное математическое содержание. Во 2-м классе происходит знакомство с обратными задачами, и дети составляют к данным задачам (в основном простым) обратные, то дальше главное внимание сосредоточивается на установлении количества возможных обратных задач к данной составной задаче, выявлении признака, помогающего установить это количество до их практического составления, а также на выявлении среди обратных задач таких, которые в настоящий момент дети решить не могут в силу отсутствия каких-либо знаний.

Еще одним важным направлением этой работы является различение обратной задачи от задач, связанных с исходной задачей общей фабулой, но тем не менее таковой не являющейся.

Наиболее часто встречающаяся ситуация заключается в составлении задачи, обратной только к части исходной составной. Приведем пример такой ошибки из протокола урока.

Детям была предложена для решения и последующего составления обратных задач такая задача:

На улице построили 24 дома. Из них 9 шестнадцатиэтажных, а остальные девятиэтажные. На сколько больше было построено девятиэтажных домов, чем шестнадцатиэтажных?

Среди задач, предложенных как обратные, были и такие:

• На улице построили 9 шестнадцатиэтажных домов, а девятиэтажных на 6 больше. Сколько построили девятиэтажных домов?

• На улице построили 9 шестнадцатиэтажных и 15 девятиэтажных домов. Сколько домов построили на улице?

Такие ошибки свидетельствуют о том, что представление школьников об обратных задачах весьма поверхностно. За обратную они принимают любую задачу, которая каким-либо образом перекликается с данной. Эффективным способом преодоления этой ситуации является выбор обратной задачи среди нескольких сходных с последующим объяснением причин сделанного выбора. Одним из основных ориентиров такого выбора может служить количество действий, необходимых для решения исходной и обратной задач.

Особенно большое внимание на третьем и четвертом этапах уделяется различным преобразованиям задач, которые приводят к их усложнению или упрощению. При выполнении заданий, связанных с преобразованием задач, независимо от их формулировки каждый ученик должен получить возможность работать на своем уровне трудности, чего можно достигнуть, предлагая по собственному выбору попробовать упростить или усложнить данную задачу. В результате более слабые ученики предложат варианты упрощения задачи, а более сильные – ее усложнения.

Основной линией работы с задачами на завершающем этапе становится классификация задач по сходству их математического содержания. К этому времени дети накопили большой опыт работы с задачами, их сравнения по признакам сходства и различия. Это создает условия для самостоятельного установления того, что многие задачи совершенно различны по сюжетам, но одинаковы по заложенным в них отношениям. В силу этого многие задачи решаются одинаково.

В силу этого сравнение задач, которое продолжает оставаться одним из важнейших приемов работы с ними, приобретает принципиально иной характер: с одной стороны, сравниваются задачи, идентичные по математическому содержанию, но совершенно различные по сюжету, а с другой стороны, близкие и по математическому содержанию, и по сюжету, но различного уровня трудности.

Поясним оба эти направления конкретными примерами.

Сравнение задач с разным сюжетом, но единым математическим содержанием:

1) Автомобиль выехал из поселка со скоростью 62 км/ч и через 4 ч прибыл в город. Какой путь проделал автомобиль?

2) В палатку привезли 20 ящиков с печеньем. В каждом ящике было 12 кг печенья. Сколько килограммов печенья привезли в палатку?

3) В минуту кран наливает в ванну 15 л воды. Сколько воды будет в ванне через 8 минут?

4) Килограмм картофеля стоит 15 рублей. Хозяйка купила 10 кг картофеля. Сколько стоила покупка?

5) Рабочий обрабатывает в час 7 деталей. Сколько деталей он обрабатывает за рабочий день, продолжительность которого 8 часов?

Сравнение решения всех этих задач показывает их полное совпадение. Меняются только числа, математическое содержание одинаково – прямо пропорциональная зависимость (термин детям не сообщается).

Сравнение задач с близким сюжетом и математическим содержанием, но разным уровнем трудности:

1) Машина прошла 522 км за 9 часов, двигаясь с постоянной скоростью. С какой скоростью она двигалась?

2) Машина прошла 522 км за 9 часов, двигаясь с постоянной скоростью. Какой путь она пройдет за 16 часов, если ее скорость не изменится?

3) В первый день машина прошла 522 км за 9 часов, двигаясь с постоянной скоростью. Во второй день она была в пути 7 часов и двигалась с той же скоростью. Какой путь машина проделала за 2 дня?

4) Двигаясь с постоянной скоростью, машина прошла 522 км за 9 ч. Во второй день она была в пути 7 ч, а скорость ее увеличилась на 6 км/ч. Какой путь проделала машина за 2 дня?

5) Двигаясь с постоянной скоростью, машина в первый день за 9 ч прошла 522 км. Во второй день она была в пути 7 ч. При этом первые 3 ч машина двигалась с прежней скоростью, а в остальное время увеличила ее на 6 км/ч. Какой путь проделала машина за 2 дня?

Легко заметить, что каждая следующая задача возникает на основе предыдущей в результате внесения в нее дополнительных условий, что и приводит к усложнению решения.

В данном примере задачи расположены в порядке их усложнения. Однако это не единственный используемый в учебнике вариант. Задачи могут располагаться и в противоположном порядке – от самой сложной ко все более простым.

Еще одним важным аспектом работы с задачами на завершающем этапе является установление связей между задачами, которые при всем их математическом различии имеют и черты сходства, заключающиеся не только в сходстве сюжета. Рассмотрим, например, такие задачи:

1) Автомобиль выехал из поселка со скоростью 63 км/ч и через 4 ч прибыл в город. Какой путь проделал автомобиль?

2) Из города и поселка одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них 59 км/ч, а другого – 63 км/ч. Через 3 часа они встретились. Чему равно расстояние между городом и поселком?

3) Из поселка в город одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них 59 км/ч, а другого 63 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут автомобили через 5 часов движения?

При внешнем сходстве этих задач (количество которых может быть и увеличено) их решения значительно отличаются друг от друга, хотя в основе каждой из них лежит прямо пропорциональная зависимость.

Еще один инструмент, который поможет школьникам в достижении этой цели, – знакомство с алгебраическим способом решения задач, в котором более четко выступают признаки классификации.

Знакомя учеников с решением задач при помощи составления уравнения, необходимо помнить, что многие из них будут предпочитать знакомый арифметический способ решения.

Это совершенно естественно – ведь происходит только первое столкновение с новым способом решения. Показать детям его привлекательность, его преимущество, рациональность, а не навязывать насильно – вот задача учителя.

Школьники лучше оценят новый способ, если его использование облегчит решение задач. Следовательно, начинать лучше с решения таких задач, которые отвечают этому условию.

Вот некоторые из них:

1) В двух корзинах разного размера 96 кг яблок. В одной корзине яблок в 3 раза больше, чем во второй. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

2) В одной пачке в 5 раз меньше тетрадей, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке, если в большей пачке на 20 тетрадей больше?

3) У девочки живут голуби и кролики. Всего у этих животных 26 голов и 60 ног. Сколько у девочки голубей и сколько кроликов?

Сравнивая арифметический и алгебраический способы решения этих задач, дети быстрее оценят преимущества второго из них и включат этот способ в активный запас своих знаний и умений, начнут использовать его в своей учебной работе.

Вопросы для самопроверки

1. Какая основная цель ставится при работе с задачами?

2. Какие этапы проходит процесс овладения умением решать задачи?

3. Какие основные проблемы решаются на каждом этапе работы с задачами?

4. Когда начинается работа по установлению типов задач? Почему именно в это время?

Какой характер она носит?

5. Зачем в программу включено знакомство с алгебраическим способом решения задач?

Рекомендуемая литература

1. Программа для четырехлетней начальной школы (система Л.В. Занкова).

2. Аргинская И.И. и др. Математика: Учебник-тетрадь для 1-го класса.

3. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебники для 2–4-х классов.

4. Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика: Рабочие тетради на печатной основе для 2–4-х классов.