ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ"

Ирэн АРГИНСКАЯ,
Елена ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекция 7.

Роль геометрического материала в курсе математики начальной школы и специфика его изучения

Тема «Элементы геометрии» занимает значительное место в программе по математике и изучается в течение всего периода начального обучения. Как правило, отдельные вопросы, относящиеся к теме, не выделяются в отдельные блоки, а переплетаются с изучением основного – арифметического – материала. Отдельно представлено измерение площади, углов, объема пространственных фигур и геометрических моделей числового ряда (числовой (координатный) луч).

Сравнительно большой объем в курсе начальной школы отводится на изучение геометрического материала. Это объясняется двумя основными причинами:

1) работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно-действенный, наглядно-образный и наглядно-логический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам и опираясь на которые дети выходят на высшую ступень в своем развитии – словесно-логический уровень;

2) увеличение объема изучения геометрического материала в начальных классах, особенно связанного с объемными фигурами, способствует более эффективной подготовке учеников к изучению систематического курса геометрии, что позволяет снизить у школьников основного и старшего звена школы существенные трудности, возникающие при изучении геометрии.

Перечислим основные задачи изучения темы «Элементы геометрии»:

– уточнение и обобщение геометрических представлений, полученных в дошкольном возрасте;
– обогащение геометрических представлений школьников, формирование некоторых основных геометрических понятий (фигура, плоскостные и пространственные фигуры, основные виды плоскостных и пространственных фигур, их иерархическая связь между собой и т.д.);
– развитие плоскостного и пространственного воображения школьников;
– подготовка к изучению систематического курса геометрии в основном звене школы.

Решение первой задачи, особенно на первом этапе обучения, предполагает уточнение терминологии, которой пользуются дети, а также осознание признаков, позволяющих отнести геометрические фигуры к соответствующей категории.

Еще до школы практически все дети знакомятся с такими геометрическими фигурами, как круг, квадрат, треугольник, прямоугольник, овал. С ними же они сталкиваются и на уроках математики. Учителю необходимо использовать каждую ситуацию, когда дети в своей речи используют слова «кружок», «квадратик» и т.п., для замещения этих названий математическими «круг», «квадрат», «треугольник» и т.д. Так же важно, чтобы учитель следил и за собственной речью – не говорил: «Нарисуйте три кружка...» Дети постепенно овладеют правильной терминологией. Предлагаем вашему вниманию фрагмент урока, на котором учитель достаточно удачно построил работу по уточнению терминологии.

На доске плакат с изображениями круга и треугольника.

Учитель. Кто назовет эти фигуры?

Саша. Здесь кружок и треугольник.

У. Все согласны с Сашей?

Дети. Да! Да!

У. Саша, повтори, пожалуйста, названия этих фигур, а вы слушайте внимательно.

Саша повторяет слова кружок и треугольник.

– Что-нибудь заметили?

Дети молчат.

– Тогда послушайте еще раз.

Учитель сам произносит слова кружок, треугольник, выделяя голосом вторую половину первого слова.

Оля. Я заметила! «Кружок» – так в детском саду говорят, а в школе – «круг»!

Все дети оживились, улыбаются.

У. Молодцы, я вижу, вы все согласны, поняли, что Оля правильно сказала. Но эту фигуру так называют не только в школе – так ее называют в науке математике даже самые знаменитые ученые.

Дети сравнивают круг и треугольник и начинают выполнять задание 42 (45, ч. 1), в котором нужно сравнить два множества деревьев.

У. Как узнать, каких деревьев больше, а каких меньше?

Люба. Их нужно соединить парами.

У. Как?

Люба. Соединить линиями.

У. Я согласна, но так мы уже делали не раз. Есть еще предложения?

Дети молчат.

– Тогда я вам помогу. Достаньте из своих касс кружки и квадратики (учитель не очень заметно, но подчеркивает голосом эти слова).

В классе движение, многие поднимают руки.

– Что такое, вы уже догадались, что я хочу сказать?

Петя (хитрым голосом). Нет. Но вы сказали – «кружки и квадратики»! Разве математики так говорят?

Все дети смеются, учитель тоже.

У. Какие же вы у меня молодцы, не дали себя перехитрить, заметили! Как же правильно нужно сказать?

Д. (хором). Круги и квадраты!

Сравнивая знакомые фигуры между собой, дети начинают осознавать, в чем заключается сходство и различие фигур. Так, они замечают, что в треугольнике меньше сторон и углов, чем в квадрате. Уже на этом этапе дети устанавливают связь между названием «треугольник» и числом углов в этой фигуре.

После установления связи между названием и числом углов треугольника необходимо продолжить эту линию и предложить детям дать другое название квадрату. Однако переключение со знакомого, привычного названия фигуры на новое может оказаться для учеников слишком трудным. В этом случае выйти на термин «четырехугольник» можно при рассмотрении произвольного четырехугольника, а затем подвести под этот термин и такие знакомые фигуры, как квадрат и прямоугольник.

Приведенная выше работа подготавливает почву для решения одного из важных аспектов решения второй задачи – формирования общего способа классификации многоугольников по числу углов. Предлагая регулярно для рассмотрения многоугольники с различным количеством углов, помогая детям найти их названия, учитель продвигает детей в осознании этого способа классификации.

Приведем соответствующий фрагмент урока.

Учитель. Как называется многоугольник, начерченный на доске?

Открыта небольшая часть доски с изображением произвольного треугольника.

Дети. Это треугольник.

У. Почему он так называется?

Д. Он так называется потому, что у него три угла.
– А еще у него три стороны.

У. Начертите в тетради любой треугольник.

Дети чертят в тетрадях разные треугольники.

– Поменяйтесь тетрадями и проверьте работы друг друга.

Дети выполняют проверку, ошибок нет ни у кого.

– А теперь посмотрите на новый чертеж на доске. Как бы вы назвали этот многоугольник?

Учитель открывает следующую часть доски.
Рисунок.
Произвольный выпуклый четырехугольник.

Д. Это, наверное, четырехугольник.
– Конечно, четырехугольник – у него ведь четыре угла!
– Я согласна с таким названием. У этого многоугольника четыре угла и четыре стороны, значит, это четырехугольник.

У. А теперь рассмотрите новый чертеж и назовите сначала номера всех треугольников, а потом всех четырехугольников.

Рисунок.
На чертеже 9 пронумерованных фигур, среди них 2 разных треугольника, 2 произвольных выпуклых четырехугольника, один невыпуклый четырехугольник, 2 прямоугольника, из них 1 квадрат, 1 пятиугольник и 1 шестиугольник. Все фигуры расположены вперемешку.
Дети выполняют задание достаточно успешно: номера треугольников все назвали верно, затруднения возникли только в работе с невыпуклым четырехугольником.

– Теперь рассмотрите внимательно те многоугольники, номера которых вы не назвали, и объясните, почему так получилось.

Д. У фигуры под номером 3 целых 6 углов и 6 сторон.
– А у восьмой фигуры – 5 углов и 5 сторон, это тоже не треугольник и не четырехугольник.
– Мы еще не назвали фигуру под номером 4. Я думаю, это вообще не многоугольник, а какая-то кривулька.
– Нет, я с Настей не согласен – ведь у фигуры есть и углы, и стороны. Это многоугольник, только необыкновенный.
– Я тоже думаю, что это многоугольник, и если посчитать его углы и стороны, то это четырехугольник.

У. Ребята, кто же прав?

Большая часть учеников, подумав, соглашается с тем, что это тоже четырехугольник. Но довольно большая группа с этим не согласна.

– Мы с вами еще не раз будем рассматривать такие фигуры, а сейчас подумайте, как вы назовете многоугольники под номерами 3 и 8.

Д. Многоугольник под номером 3 – это шестиугольник: у него 6 углов и 6 сторон.
– А многоугольник под номером 8 – пятиугольник, раз у него 5 углов и 5 сторон.

У. Молодцы, вы очень хорошо работали с многоугольниками.

Параллельно с этим происходит и подведение под общее понятие различных фигур, то есть установление связи род – вид. Основные линии этой работы можно проследить в приводимом ниже фрагменте урока.
На доске прикреплены плакаты с пятиугольником, четырехугольником и шестиугольником произвольной формы.

Учитель. Рассмотрите внимательно эти фигуры. Чем они похожи? Чем различаются?

Дети отмечают, что сходство в том, что все они составлены из отрезков и имеют углы. Отличаются же они количеством углов и отрезков. Сравнивая фигуры, дети свободно называют каждую из них – пятиугольник, четырехугольник, шестиугольник – и объясняют эти названия без побуждений со стороны учителя.

– Хорошо, вы все правильно сказали и многое заметили. А теперь я задам вам трудный вопрос: как можно назвать все эти фигуры одним общим словом?

Маша (очень неуверенно и после продолжительной паузы). Может быть, назвать их «угольники»? Ведь у них у всех есть углы.

У. Хорошо, Маша. Кто еще предложит свое название?

Дима. Я думаю, Маша правильно говорит. В названии обязательно должно быть «угольники», ведь все так называются – «треугольники», «четырехугольники» (голосом выделяет общую часть), только что-то нужно добавить. Я думаю, можно назвать «разноугольники».

У. Ребята, вам нравится Димино название?

Дети. Да, нравится, он правильно придумал.

У. Да, Дима, твое название хорошее, оно мне тоже очень нравится. А сейчас я вам скажу, как математики называют все эти фигуры, – это многоугольники.

Ира. А я слышала это слово! Мой брат, он в седьмом классе учится, все говорил – «многоугольники», «многоугольники», а я и не знала, что это такое.

У. Вот видите, какие вы уже большие и умные, только в первом классе учитесь – и тоже узнали, что такое многоугольники. А теперь подумайте, почему эти фигуры называют многоугольниками?

Алеша. Ну, наверно, потому, что у них много углов.

Юра. Разве четыре – много? Вот если сто, тогда много! Просто углов сколько угодно может быть, вот так и назвали, не придумали лучше. Дима лучше назвал! Вот и нужно этим математикам написать.

Миша. Мне тоже Димино название нравится, оно точнее.

У. Хорошо, мы можем написать письмо, но пока давайте называть фигуры так, как их называют в математике. Да и слово не такое уж неудачное, ведь здесь много – значит неизвестно сколько, но не один угол. Ведь и два по сравнению с одним – уже много, правда?

Затем учитель показывает различные фигуры, а дети устанавливают, относится ли каждая из них к многоугольникам или нет: среди фигур, кроме различных многоугольников, находятся круг, отрезок, угол, сектор. Ученики дают обоснованные ответы.

С первых уроков начинается знакомство с простейшими геометрическими фигурами – точкой и линией – на уровне наглядного восприятия моделей этих фигур как в виде изображения их на чертеже, так и в качестве элементов реальных объектов, окружающих детей.

Рассмотрим фрагмент урока в 1-м классе, посвященного знакомству с точками и линиями.

Учитель. Откройте свои маленькие тетрадки на чистой странице и возьмите простые карандаши. Прикоснитесь к бумаге карандашом. Кто скажет, что у вас получилось?

Дети. Я знаю, у меня получилась точечка!
– А у меня – маленькая закорючка, точка с хвостиком.
– Это неправильно, ты карандаш двигал, вот и получился хвостик.
– А называть надо не «точечка», а точка.
– Откуда ты знаешь, как нужно называть?
– Я от сестры слышала, у нее такой урок есть – геометрия.

У. Юля правильно говорит. Если вы только прикоснулись к бумаге карандашом, у вас получилась точка. Поставьте на листочке еще одну точку.

Дети ставят в тетрадях еще точки. Некоторые подзывают учительницу и просят разрешения поставить еще точку, так как вторая точка не получилась.

– А теперь сделайте так: поставьте точку и от нее двигайте карандаш туда, куда вам хочется.

Дети выполняют задание.

– Что у вас получилось теперь?

Д. У меня получилась полоска с точкой на конце.
– Это точка с хвостом.
– Мне кажется, это называется «линейка».
– Нет, линейка вот какая, а это, наверное, линия.

У. Молодец, Костя, ты правильно назвал получившиеся фигуры.
А теперь откройте учебник на странице 10 и найдите задание 9. Рассмотрите рисунок. Что на нем изображено?

Д. Здесь есть линии и точки.
– Одни точки на линиях, а другие – сами по себе.

У. Найдите на рисунке поставленные точки и обведите их.

Дети выполняют задание.

– Нарисуйте в строке клеток столько кругов, сколько нашли точек.

Дети работают самостоятельно.

– Кто сумел сосчитать точки?

Большая группа детей сосчитала точки и получила число 6. Но некоторые этого сделать не смогли и выполняли задание так: обводили точку и рисовали круг, затем обводили другую точку и рисовали второй круг и т.д.

– Найдите на рисунке линии и обведите их карандашом. Нарисуйте столько треугольников, сколько на рисунке линий.

Дети выполняют задание самостоятельно. Учитель проходит по рядам и проверяет правильность выполнения задания целиком.

Остановимся на особенностях изучения элементов геометрии в системе Л.В. Занкова.

Традиционно в школе изучение геометрии начинается с измерения геометрических величин. Это соответствует историческому ходу развития геометрии (об этом свидетельствует само название этой науки, которое в переводе с греческого обозначает «измерение земли»). Между тем психологи отмечают, что возраст младшего школьника наиболее благоприятен для развития пространственных представлений и пространственного мышления. Постижение геометрии у детей дошкольного и младшего школьного возраста идет в направлении от «геометрии формы» к «геометрии измерений», то есть от качественных операций по изучению формы предметов, их элементов, взаимного расположения, отношений и так далее к количественным операциям по измерению их характеристик.

Детям указанного возраста интересен объект как таковой, им необходимо выделить отдельный объект из окружающего мира, и осуществляют они это через выделение его контура. На младший школьный возраст приходится формирование проективных отношений – ребенку важен не только сам объект, но и его положение в окружающем мире, формирование отношений взаимного положения: «ближе – дальше», «за – перед», «видно – не видно», «вверху – внизу» и т.д. Формирование же метрических отношений приходится на возраст 10–14 лет. Из этого следует, что измерение геометрической фигуры должно предваряться работой, направленной на всестороннее ее изучение. Эта работа включает анализ элементов фигуры и их свойств, овладение способами графического построения и моделирования фигуры, разбиение ее на другие фигуры и осознание учащимися сущности ее измерения.

Именно такой подход в максимально возможной степени осуществляется в нашей системе и является первой особенностью изучения рассматриваемой темы.

На протяжении всего обучения в начальной школе дети занимаются сравнением и выявлением свойств различных плоскостных и объемных геометрических фигур, связей между ними, их классификацией. Такой подход к изучению материала способствует сознательному овладению знаниями и продвижению детей в развитии.

Первое задание, относящееся к этой теме, – задание 9 (1 кл., ч. 1), разобранное выше, в котором нужно выделить модели точек и линий в разные группы. Уже при его выполнении дети сталкиваются с различным расположением точек и линий, но осознанию этого положения посвящено задание 24 (1 кл., ч. 1).

№ 24. Точка А лежит на линии. Что ты можешь сказать о точке О?
Рисунок.
Произвольная кривая, на которой отмечена точка А. Под линией отмечена точка О.
Отметь еще 3 точки, которые лежат на этой линии, и 5 точек, которые на ней не лежат.
Подумай, сколько еще точек можно отметить на этой линии.

Затем дети начинают знакомиться с различными видами линий – прямой и кривой, учатся различать их, на доступном для них уровне знакомятся с основным свойством прямой – ее бесконечностью. Этому посвящены задания из учебника для 1-го класса № 31, 37, 43 (ч. 1).

№ 31. Найди на чертеже похожие линии. Обведи линии каждой группы одним цветом. Для линий разных групп используй разные цвета.
Рисунок.
Шесть прямых и кривых линий, расположенных вперемешку и по-разному на плоскости.

№ 37. Рассмотри линии. В математике их называют прямые.
Рисунок.
Пять прямых линий, расположенных по-разному на плоскости.
Прямые чертят с помощью линейки.
Дано изображение линейки без делений.
Посмотри на с. 3, как это делают.
На с. 3 даны изображения правильного письма, черчения, рисования.
Начерти несколько прямых.

№ 43. На каждой прямой линии поставь точку.
Рисунок.
Семь прямых и кривых линий, расположенных вперемешку и в разных позициях.
Как бы ты назвал линии, на которых ты не ставил точки?
В математике эти линии называются кривые.
Тебе нравится это название? Почему их так назвали?
Начерти несколько прямых и кривых линий. Прямые черти красным карандашом, кривые – простым.

Чтобы ученики представили себе такое понятие, как бесконечность прямой, мы предлагаем сначала использовать такую практическую работу: как можно более длинные, толстые и яркие нитки наматывают примерно поровну на 2 катушки. Таких пар катушек нужно заготовить вдвое меньше, чем учеников в классе. Дети выходят в коридор или на пришкольный участок, делятся на пары. Учитель дает каждой паре один из заготовленных комплектов, каждый ученик берет одну катушку, и пары становятся лицом друг к другу, туго натягивая разделяющую их часть нитки. По команде учителя пары начинают медленно расходиться в противоположные стороны, разматывая натянутую нитку.

Если у кого-то из детей кончается нитка, но есть место для продолжения движения, можно привязать дополнительный кусок нитки, но можно этого и не делать.

После завершения практической работы необходимо обсудить с детьми причины, по которым им пришлось остановиться, и что можно было сделать, чтобы продолжить движение. Таких причин две:

– закончилась нитка, и в этом случае поможет увеличение длины нитки;
– нет возможности двигаться дальше, так как на пути возникло препятствие, и в этом случае нужно представить, что препятствие убрано с пути каким-либо способом.

Возможной модификацией проведения такой работы является использование одного комплекта катушек с намотанной нитью. В этом случае работу выполняют два ученика, остальные только наблюдают за ними. В процессе деятельности учитель задает следующие вопросы: какая получилась линия? Можно ее продолжить? Как это сделать? Дети с катушками расходятся до тех пор, пока не дойдут до стен класса. Можно вывести детей в коридор и там продолжить разматывание нити.

Такой вариант работы значительно легче организовать, но он менее эффективен как с точки зрения возможности «пощупать» проблему своими руками, что очень важно для первоклассников, так и с точки зрения организации возможности двигаться в течение урока.

В качестве следующего шага можно использовать такой прием: на доске чертится часть прямой. Учитель спрашивает, можно ли эту прямую продолжить, сделать длиннее. Возможно, дети сразу догадаются, что можно. Если такой ответ получен, нужно предложить рассказать, как это можно сделать (приложить линейку к части начерченной линии и начертить дальше). Учитель выполняет эту операцию и спрашивает, можно ли еще продолжить эту прямую. Постепенно прямая продолжается до краев доски. А дальше можно? Очевидно, дети скажут, что дальше чертить нельзя. На этом этапе устанавливается, что причина не в том, что прямая не может продолжаться, а в том, что кончилась доска. Дальше учитель предлагает детям представить, какой длины можно было бы начертить прямую, если ее чертить не на доске, а на стене, на полу класса, в коридоре, на земле во дворе и т.д. Так постепенно у учащихся формируется понимание возможности неограниченного продолжения прямой.

После знакомства с прямой рассматривают фигуры, которые являются ее частями: луч и отрезок. Прямую, луч и отрезок сравнивают между собой, устанавливают отличие луча от отрезка и от прямой. При знакомстве с отрезком основное внимание уделяется его ограниченности с двух сторон, а луча – с одной стороны.

Можно использовать такой вариант знакомства с отрезком: на доске изображаются две точки. Затем формулируется задание: соединить точки линией. Учитель не должен торопиться с разъяснениями – нужно предоставить ученикам время для самостоятельного выполнения задания. Только после этого несколько учеников показывают на доске свои решения, используя одну и ту же пару точек. На доске получается чертеж, на котором две точки соединены несколькими разными линиями. Очень важно так подобрать решения детей, чтобы были выявлены все допущенные ошибки (например, вместо того чтобы соединить точки линией, ученик проводит линию через две точки, то есть концы линии не находятся в данных точках) и были представлены все принципиально разные варианты решений. Если среди них будет отрезок, учителю останется только сконцентрировать внимание учеников на этом решении, выделив его среди других, что нетрудно сделать, так как все остальные решения, очевидно, будут кривыми линиями. Кроме того, дети легко заметят, что эта линия является самой короткой. Если среди предложенных детьми решений отрезка не окажется, учитель предлагает выполнить задание № 86.

№ 86. Соедини точки при помощи линейки.
Рисунок.
Две точки на некотором расстоянии друг от друга.
У тебя получился отрезок.
Научись правильно чертить отрезки.
Рисунок.
Четыре листа бумаги в ряд. На первом изображена точка и рука ребенка с карандашом ставит вторую точку. На втором к тем же точкам приложена линейка без делений. На третьем одна рука прижимает линейку, другая ведет вдоль нее карандаш. На четвертом – повторение третьего рисунка, но карандаш стоит во второй точке.
Начерти несколько отрезков.

Затем сравнивают отрезок и прямую и устанавливают ограниченность отрезка. Отрезок имеет два конца (могут быть использованы и названия начало и конец отрезка).
Знакомство с лучом происходит при выполнении задания № 100.

№ 100. Сравни линии. Чем они похожи? Чем отличаются?
Рисунок.
На рисунке прямая, отрезок и луч.
Названия каких из этих линий ты знаешь? Обведи их зеленым карандашом.
Линия на этом рисунке называется луч.
Рисунок.
Произвольно расположенный луч.
Найди на верхнем рисунке луч, обведи его красным карандашом.
Объясни, чем луч отличается от прямой. А от отрезка?
Начерти два луча.

Дальнейшее продвижение в знакомстве с геометрическим материалом тесно связано с взаимным расположением различных линий, особенно прямых, лучей и отрезков, что приводит к знакомству с различными новыми геометрическими фигурами (углами, ломаными линиями, многоугольниками и т.д.).

Весь остальной геометрический материал изучается аналогично, начиная с основополагающего понятия и постепенно расширяя и углубляя тему. Такое построение материала является второй особенностью изучения элементов геометрии, хотя относится не только к нему.

Одним из важных направлений изучения элементов геометрии в начальной школе, начиная с 1-го класса, является работа с объемными телами (как в виде реальных предметов, окружающих учеников в трехмерном пространстве, в котором они существуют, так и в виде моделей пространственных фигур – цилиндра, конуса, шара, призмы, пирамиды).

В настоящее время многие авторы учебников математики как для начальной, так и для основной школы активно вводят работу с объемными фигурами в курс математики. Создаются и специальные пособия по геометрии для 2–6-х классов, в которых уделяется большое внимание этому материалу. Это, очевидно, продиктовано одной общей причиной – осознанием того парадоксального положения, что, существуя реально в трехмерном пространстве, ученики на протяжении первых девяти лет обучения в школе на уроках математики «живут» в двухмерном пространстве (на плоскости), теряя способность к пространственному воображению и мышлению, что создает для большинства из них непреодолимые препятствия при изучении курса стереометрии в старших классах.

Мы также считаем такое положение недопустимым, но в большинстве таких пособий есть существенный недостаток – они начинают знакомство с объемными телами с рассмотрения их изображений на рисунках, что ставит детей в ситуацию, когда основное качество таких объектов – невозможность их размещения в плоскости – явно противоречит тому, что видит ребенок.

В рамках предлагаемого курса первые два года обучения младшие школьники работают только с реальными объемными предметами и моделями основных объемных фигур – шарами, цилиндрами, конусами, призмами и пирамидами. Поэтому в учебнике для 1-го класса и в комплекте для 2-го класса отсутствуют задания, связанные с изучением этого материала. Такой подход является особенностью работы с геометрическим материалом в нашей системе.

При изучении темы в 1-м классе работа ведется в следующих направлениях:

– сравнение различных реальных предметов и выделение групп предметов, сходных по форме. Например, может быть предложен такой набор: мяч, банка, круглый карандаш, яблоко, кусок трубы, круглый воздушный шар. Их нужно разделить на две группы по какому-либо признаку. Среди предложенных решений (а их может быть много, так как дети могут ориентироваться на разные признаки – размер, массу, цвет, прозрачность и т.д.) учитель обращает особое внимание учеников на вариант, когда предметы объединены по форме. Такое предпочтение легко может быть оправдано тем, что при занятиях геометрией всегда большое внимание уделяется именно форме рассматриваемых фигур;

– подбор других подходящих по форме предметов к выделенным группам. Эта часть работы может происходить в классе с реальным набором предметов или с их названиями, либо может быть дана в качестве домашнего поручения – найти подходящие по форме предметы среди игрушек или предметов домашнего обихода;

– сравнение выделенных по сходству формы предметов с моделями объемных геометрических фигур и выбор соответствующих моделей, знакомство с названиями выбранных моделей. Так, в результате выполнения задания, приведенного выше, дети выделят две группы вещей, сходных по форме: мяч, яблоко и воздушный шар; банка, карандаш, труба. Учитель показывает несколько моделей – конус, шар, призму, цилиндр – и предлагает выбрать те, которые по форме больше всего подходят к выделенным группам. Очевидно, дети без труда идентифицируют с ними шар и цилиндр, после чего вводятся названия соответствующих геометрических фигур – шар, цилиндр. Как и всегда, прежде чем сообщить названия выбранных моделей, необходимо поинтересоваться, не знает ли их кто-нибудь из учеников. Если окажется, что это так, то названия (или одно из них) сообщает не учитель, а дети;

– выделение знакомых плоскостных фигур на поверхности объемных. Это направление позволит связать в единое целое объемные и плоскостные фигуры, где плоскостные фигуры выступят в своей естественной для трехмерного пространства роли – части объемного тела (например, круг выступит как часть поверхности конуса или цилиндра, прямоугольник – как часть поверхности призмы, треугольник – пирамиды и т.д.);

– выделение из реальных предметов сложной формы частей, имеющих форму шара, цилиндра, конуса, призмы, пирамиды;

– создание моделей объемных фигур из пластилина и композиций из этих моделей. Это направление может осуществляться не только на уроках математики, трудового обучения, но и дома.

Желательно, чтобы для создания сложных композиций моделей дети объединялись в группы. Это позволит по-разному организовать работу начиная с варианта, когда у учеников уже есть готовые вылепленные модели и группа придумывает возможную для этого набора композицию, и заканчивая случаем, когда сначала группа придумывает композицию, определяет, какие, сколько и какого размера нужно вылепить модели для ее осуществления, распределяет их изготовление между участниками и создает задуманную композицию (к последней, сложной, форме сотрудничества ученики, очевидно, придут не в 1-м, а в последующих классах. Во 2-м классе продолжаются все начатые в 1-м направления работы с объемными телами, но постепенно происходит расширение в сторону детального рассмотрения моделей пространственных фигур. В процессе изучения дети знакомятся с понятиями «основание», «ребро», «вершина», «грань», «поверхность», «боковая поверхность».

В 3-м и 4-м классах дети знакомятся с различными приемами изображения на плоскости объемных предметов, создающих иллюзию объемности. Через систему заданий дети самостоятельно подходят к выводу о том, что для этого используют художники, графики, чертежники. Художники-живописцы используют для этого игру светотени или перспективу, графики – искривление линий, чертежники – ортогональную проекцию.

Помимо этих приемов, дети знакомятся с изображением трех видов объекта (спереди, сверху, сбоку). Этот способ особенно важен для развития пространственного воображения.

Новое направление в рассмотрении объемных фигур – сравнение моделей различных наименований. Весь данный материал изучается на ознакомительном уровне. Например, сравнивая модели шара, цилиндра, конуса, дети отмечают, что общее для них – это способность к качению (катится). Различие в том, что шар катится произвольно, цилиндр – по прямой, конус – по кругу, в центре которого находится его вершина. Различия этих тел также в том, что у шара нет ни вершин, ни оснований, у цилиндра – два основания, но нет вершин, у конуса – одно основание и одна вершина. Аналогично рассматриваются и сравниваются призма и пирамида, цилиндр и призма, пирамида и конус и т.д.

Вариантом такой работы является сравнение объемных фигур одного наименования. Например, детям предлагается сравнить несколько разных призм. При выполнении задания выявляются признаки сходства и различия.

Признаки сходства: все призмы имеют два основания-многоугольника, ребра и вершины, боковые грани у них – прямоугольники (в начальной школе мы рассматриваем только прямые призмы).

Признаки различия: основаниями являются разные многоугольники, число вершин и ребер различное, длины ребер разные.

Можно предложить ученикам найти призмы, имеющие только один или другое число признаков различия и обсудить, почему это так.

Задания для самопроверки

1. Какие вы знаете особенности построения изученных элементов геометрии?

2. Какими причинами вызвано увеличение объема изучения геометрического материала в начальной школе?

3. Какие задачи решаются при изучении геометрического материала?

4. Какой причиной обусловлена особенность изучения объемных фигур?

Рекомендуемая литература

1. Сборник программ для четырехлетней начальной школы. Система Л.В. Занкова. Самара: Корпорация «Федоров», издательство «Учебная литература», 2004.

2. Аргинская И., Бененсон Е., Итина И. Математика: Учебник для 1-го класса. В 5 ч. Самара: Корпорация «Федоров», издательство «Учебная литература», 2003.

3. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебники для 2-го, 3-го, 4-го классов. Самара: Корпорация «Федоров», издательство «Учебная литература».

4. Аргинская И.И. Математика. Методическое пособие к учебнику 1-го, 2-го класса четырехлетней начальной школы. М.: ЦОР 1, 2003.