ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ"

Ирэн АРГИНСКАЯ,
Елена ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекция 5.

Методические особенности изучения чисел и действий с ними в системе Л.В. Занкова

Темы, которым посвящена лекция, составляют основу курса математики начальной школы
в любой системе, в том числе и в системе Л.В. Занкова. Каждая из этих тем проходит через все четыре года обучения в начальной школе и относится в большей своей части к основным базовым знаниям, обязательным для усвоения их к концу начальной школы.

Изучение чисел

При изучении этой темы детьми необходимо решить следующие задачи:

– овладеть устной и письменной нумерацией в десятичной позиционной системе счисления;
– осознать принципы построения десятичной позиционной системы счисления;
– сформировать понятие натурального числа, используя разные научные подходы к нему;
– познакомить с историей возникновения натуральных чисел;
– расширить понятие числа за пределы множества натуральных чисел.

Работа с темой «Изучение чисел» начинается с первых дней обучения детей в школе. На наш взгляд, она является наиболее сложной с методической точки зрения, так как практически все дети знакомы с некоторым количеством чисел (вернее, с названиями чисел) и могут их назвать по порядку. Знания детьми чисел, как правило, формальны и не осмыслены, но дети этого не понимают и считают работу с числами ненужной и скучной.

Надо организовать работу так, чтобы заинтересовать детей и подвести их к пониманию основ знаний о числах. Начнем с дочислового этапа, занимающего по времени небольшое, но в действительности очень важное место. Этот этап условно заключает в себе длительный период в истории человечества – период, когда люди еще не знали чисел, но умели размечать количество необходимых им объектов.

Мы предлагаем опираться на жизненный опыт детей. Они часто используют в своей речи вместо чисел слова «мало» и «много» (например, «игрушек мало», «птичек много»). Чтобы уроки были значимы для детей, надо их включать в активную работу. Можно поручить им дома провести исследование, узнать, какие слова употребляли их родители, когда были совсем маленькими и не знали чисел. А если у них есть младшие братик или сестренка, то ученики могут понаблюдать за малышами и узнать, какие слова используют они. Это домашнее задание поможет еще раз обратить внимание детей на изучаемую тему.

Мы привели пример домашнего задания. А теперь давайте обсудим вопрос: можно ли в первом классе задавать на дом? Министерством образования и науки РФ рекомендовано в 1-м классе домашних заданий не задавать вообще. Это правильно в том случае, если они носят привычную для учителя форму – упражнения, закрепляющие полученные в классе знания и умения. Полное отсутствие домашних заданий – этого необходимого компонента школьной жизни и статуса ученика – неизбежно приводит к серьезным искажениям понимания ребенком этого статуса.

За год дети привыкают к тому, что они в течение четырех уроков – ученики, после уроков – просто дети и не имеют никаких обязательств, связанных со статусом ученика. Полное отсутствие домашних заданий в течение 1-го класса вызывает достаточно серьезные трудности у детей во 2-м классе. Теперь домашние задания становятся постоянным элементом урока. Многие ученики считают их, во-первых, посягательством на их свободное время, а во-вторых, делом совершенно необязательным – ведь в 1-м классе домашних заданий не было.

Поэтому мы считаем, что детям нужны особые домашние задания: поговорить со взрослыми по тому или иному вопросу, который будет обсуждаться на следующем уроке, что-то сосчитать по дороге домой, найти и принести на следующий урок определенный природный материал.

Мы обратили внимание детей на понятия «много», «мало». Теперь надо узнать, достаточно ли этих понятий, например, для сравнения количества предметов.

После того как дети осознают недостаточность и неопределенность такой оценки (см. задание 6 1-й части учебника-тетради для 1-го класса, в котором они сталкиваются с такой ситуацией, когда одно и то же количество в одном случае выступает как «много», а в другом – как «мало»), появляются три новые градации – «больше», «меньше», «столько же».

Эти соотношения определяются установлением взаимно однозначного соответствия между элементами рассматриваемых множеств. Необходимо избегать сравнения множеств пересчетом их элементов. В этот период нужно, помимо выполнения заданий из учебника, предлагать ученикам как можно больше заданий, используя разнообразный раздаточный материал, который есть у учителя, а также подготовлен самими детьми по заданию учителя. Такие задания позволяют ребенку действовать на наглядно-действенном уровне, который является характерным для мыслительной деятельности большинства детей этого возраста, что способствует созданию ситуации успеха и формирует положительное отношение не только к математике, но и к учебе в целом. Помимо этого, закладывается основа перехода на следующую ступеньку мышления – наглядно-образную.

Особое внимание необходимо уделить соотношению «столько же», так как оно является основой изучения натуральных чисел.

Изучение натуральных чисел происходит по следующим концентрам:

– однозначные числа (1-й класс);
– двузначные числа (1-й и 2-й классы);
– трехзначные числа (2-й и 3-й классы);
– числа в пределах класса тысяч (3-й и 4-й классы);
– числа в пределах класса миллионов (4-й класс).

Выделение таких концентров связано с тем, что одной из главных задач изучения этой темы является осознание принципа построения той системы счисления, которой в настоящее время пользуются в большинстве стран мира, – позиционной десятичной. В этой системе числа десять, сто, тысяча и т.д. являются основными, системообразующими и, следовательно, должны занимать особое место в процессе изучения, а не возникать как рядоположенные по отношению к остальным натуральным числам.

В настоящее время в начальной школе в разных системах рассматриваются два принципиально разных подхода к понятию натурального числа:

1) основанный на теории множеств;
2) основанный на соотношении между измеряемой величиной и выбранной меркой.

В рассматриваемой нами системе Л.В. Занкова предполагается максимально возможное использование в процессе обучения тех представлений и знаний, которые дети получили вне школы, а также ознакомление школьников с различными подходами к одному и тому же понятию.

Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, который позволяет максимально использовать дошкольный опыт учеников, сложившиеся у них представления о механизме возникновения чисел как результате пересчета предметов.

Таким образом, натуральное число возникает как инвариантная характеристика класса равномощных конечных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств, имеющих соответствующие числовые характеристики. На этой основе формируются понятия об отношениях «больше», «меньше», «равно», «не равно» как между множествами, так и между соответствующими им числами.

Однако как только дети знакомятся с первой величиной – длиной, рассматривается и другой подход к натуральному числу – отношение измеряемой длины к выбранной мерке.

Изучение концентра однозначных чисел строится особым образом – с учетом уже имеющихся у детей знаний о них. Важно установить, знают ли ученики названия однозначных чисел и цифры, которыми их записывают, а также знают ли они порядок расположения этих чисел. Это учитель поймет, предлагая детям выполнить задания 1, 2 из первой части учебника для 1-го класса и т.п., а также при выполнении ими заданий по раздаточному материалу.

Например, у каждого ученика на парте лежит кучка желудей и кучка ягодок рябины (разное количество тех и других).

Учитель. Не считая, узнайте, чего у вас больше – желудей или ягодок.

Дети. У меня больше ягодок, а желудей меньше. Я положила их друг за другом: сначала желудь, потом ягодку, потом опять желудь и опять ягодку – и так до тех пор, пока желуди не кончились. А ягодки еще остались. Значит, их больше.
– А у меня, наоборот, больше желудей, чем ягодок. Я сначала положил в ряд все желуди, а потом стал под каждый желудь класть ягодку, но ягодки кончились, а желуди еще остались.
– У меня желудей и ягодок одинаково. Я тоже сделал так, как Миша, но под каждый желудь мне хватило ягодку и больше их не осталось.

У. А теперь скажите, сколько у каждого из вас желудей и сколько ягодок.

Дети считают и называют полученные числа.

– Используя кассу цифр и знаков, составьте запись, которая подходит к вашему результату.

Каждый ученик выкладывает свою запись. Некоторые испытывают трудности, связанные с нетвердым знанием цифр и знаков сравнения, им помогают другие дети.

В этот же период дети учатся писать цифры, связывая их с соответствующими однозначными числами. Поскольку они работают со всеми натуральными однозначными числами, написание соответствующих цифр предлагается в порядке их усложнения. В учебнике предлагается следующий порядок написания цифр: № 34 – 1; № 45 – 4; № 53 – 6; № 66 – 9; № 74 – 5; № 82 – 3; № 96 – 2; № 103 – 7; № 107 – 8. Однако если учитель считает, что возрастание трудности написания цифр другое, он может изменить порядок написания цифр в соответствии со своими взглядами.

Наиболее важным моментом в обучении написанию цифр мы считаем правильный выбор учеником точки, с которой начинается письмо каждой цифры. В силу этого желательно максимально сократить количество таких точек. В системе предлагается следующий вариант: цифры 6, 9, 0 начинают писать от одной и той же точки, цифры 4 и 5 – тоже от одной точки, как и цифры 2, 3, 8, цифры 1 и 7 – каждая от своей точки. Таким образом, на 10 цифр приходится 5 начальных точек.

Изучение концентра однозначных натуральных чисел завершается их упорядочиванием, знакомством с началом натурального ряда чисел и свойствами этого ряда (№ 28, вторая часть учебника для 1-го класса).

Все последующие концентры изучаются по единому плану:

– образование новой единицы счета (для двузначных чисел – это десяток, для трехзначных – сотня, для четырехзначных – тысяча и т.д.);
– счет новой единицей счета до девяти;
– запись получившихся чисел и их названий;
– заполнение промежутков между круглыми числами;
– образование названий промежуточных чисел.

Необходимо иметь в виду следующие положения:

– если концентр двузначных чисел необходимо разобрать подробно и в случае необходимости оказать детям помощь, то при изучении последующих концентров дети должны пытаться действовать по аналогии, а подробно разбирать необходимо только те особенности, с которыми они сталкиваются впервые.

При изучении двузначных чисел дети знакомятся с понятием разряд. В 1-м и во 2-м классах они узнают, что такое разряд, как называются числа каждого разряда, что для каждого разряда нужна своя цифра;

– при образовании новой единицы счета необходимо рассмотреть все возможные варианты, связанные с меньшими единицами счета, уделяя особое внимание основному – когда 10 предыдущих единиц составляют одну новую единицу. Например, при образовании тысячи основным будет такой: 900 + 100 = 1000, но кроме него тысячу можно получить, считая десятками: 990 + 10 = 1000 – и единицами: 999 + 1 = 1000;

– при изучении концентра чисел в пределах тысяч появляется новое понятие – класс. Необходимо обсудить с учениками, зачем нужно такое деление, но это лучше сделать при изучении следующего концентра – числа в пределах класса миллионов.

В дальнейшем происходит постепенное расширение множества натуральных чисел по концентрам: двузначные числа, трехзначные числа и т.д., которое завершается классом миллионов. При изучении каждого из последующих концентров в центре внимания находится образование новой единицы счета – десятка, сотни, тысячи и т.д., что неразрывно связано с принципами построения десятичной позиционной системы счисления, с овладением устной и письменной нумерацией на множестве натуральных чисел.

Необходимо иметь в виду, что хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в близком их дошкольному опыту теоретико-множественном подходе, уже в 1-м классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении такой величины, как длина – в 1-м классе, масса, вместимость, площадь и разнообразные другие величины – в последующие годы обучения в начальной школе.

Эти два подхода к натуральному числу сосуществуют на протяжении всего начального обучения, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа.

Помимо традиционной арабской нумерации, в десятичной позиционной системе дети знакомятся и с римской нумерацией. Основные цели этого знакомства следующие:

– осознание того факта, что знаки, которыми записывали числа разные народы в древности, и правила такой записи могут быть различными;

– осознание преимуществ записи чисел, которыми в настоящее время пользуются в большинстве стран, перед использовавшимися ранее системами.

Мы считаем, что при каждом удобном случае необходимо показывать плоды человеческого разума, стремящегося совершенствовать предыдущие достижения в той или иной области.

Например, сравнивая современную и римскую письменные нумерации, уже вначале дети легко заметят, что при сравнении чисел с разным количеством разрядов в современной нумерации можно точно установить, какое число больше или меньше по количеству цифр, в римской же – нельзя.

Так же легко дети заметят, что для записи всех натуральных чисел от 1 до 39 в современной системе нумерации используются все 10 цифр, а в римской – всего 3: I, V, X.

Казалось бы, большое преимущество, но по мере продвижения в записи чисел оно сходит на нет, и в результате детей подводят к выводу о том, что в римской системе невозможно записать любое натуральное число – она пригодна только для конечного множества чисел, так как для записи любого сколь угодно большого натурального числа потребуется бесконечное множество знаков, а их невозможно ни придумать, ни запомнить. В арабской же системе нумерации для этого достаточно десяти знаков.

Хотя в учебниках математики представлена только римская система записи чисел, желательно познакомить учеников хотя бы еще с одной системой, а также предложить детям создать свою систему.

В методических пособиях для 3-го и 4-го классов дан материал по древнерусской системе записи чисел и один из вариантов, созданных детьми. Можно рассмотреть нумерацию, которая использовалась в России до Петра I. Она интересна как с точки зрения получения исторических знаний, так и с точки зрения того, что относится к алфавитным системам записи чисел, которые были достаточно широко распространены в мире.

Первые 9 букв обозначали числа от 1 до 9, следующие 9 – круглые десятки от 10 до 90, следующие 9 – круглые сотни от 100 до 900. Таким образом, буквы алфавита позволяли записать все однозначные, двузначные и трехзначные числа. При этом буквы записывались в том порядке, в каком назывались разряды числа.

Например, для всех двузначных чисел, больших 20, сначала записывалась буква, обозначающая число десятков, а справа от нее – буква, обозначающая число единиц.

Приводим буквы старорусского алфавита и их числовые значения:

А – 1, Б – 2, В – 3, Г – 4, Д – 5, Е – 6, Ж – 7, З – 8, И – 9, К – 10, Л – 20, М – 30, Н – 40,
О – 50, П – 60, Р – 70, С – 80, Т – 90, У – 100, Ф – 200, Х – 300, Ц – 400, Ч – 500, Ш – 600,
Э – 700, Ю – 800, Я – 900.

Приведем примеры записи разных чисел при помощи закрепленных значений букв:

11 = КА, 15 = КД, 19 = КИ, 28 = ЛЗ, 54 = ОГ, 87 = СЖ, 396 = ХТЕ, 707 = ЭЖ, 518 = ЧКЗ.

Работу с этим материалом необязательно проводить со всем классом. Ее можно провести в математическом кружке или с желающими. Но в любом случае дети, участвующие в этой работе, познакомят остальных с результатами своей деятельности, выступив перед ними с сообщениями.

Если класс состоит из детей нерусской национальности, желательно рассмотреть не древнерусскую нумерацию, а того народа, к которому относятся обучающиеся.

Первый выход за пределы натуральных чисел происходит уже в 1-м классе при знакомстве с числом ноль, которое не является натуральным. Это число рассматривается как характеристика пустого множества (без употребления соответствующей терминологии).

У белки, конечно, нет крыльев. Можно сказать иначе: у белки НОЛЬ крыльев.

В дальнейшем расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также целыми положительными и отрицательными числами. Основными направлениями работы с ними являются следующие:

– осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел;
– выделение детьми таких ситуаций в окружающем их мире, относительность их использования как в жизни, так и в математике.

Например, если яблоко разрезано на 8 равных частей, то можно задать два вопроса: «Какую часть яблока съели?» Ответом будет дробь со знаменателем 8 и любым числителем, меньшим или равным этому числу. При обсуждении обратить внимание детей на слово часть. Если задать вопрос: «Сколько кусков яблока съели?» – то ответом будет натуральное число, меньшее или равное восьми, например, 3 куска, 5 кусков.

Другой пример: если расположение объекта рассматривается относительно поверхности Мирового океана, то получаются как положительные, так и отрицательные числа. Если же за точку отсчета взять центр земного шара, то будут получаться только положительные числа.

Изучение действий

Программа и стандарты предусматривают подробное изучение в течение обучения в начальной школы четырех арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления, а также знакомство с действием возведения в степень (рассматриваются только случаи возведения в натуральную степень натуральных чисел).

Распределение изучения действий по классам следующее:

• 1-й класс – табличное сложение и вычитание;

• 2-й класс – внетабличное сложение и вычитание, табличное умножение и деление, деление с остатком;

• 3-й класс – умножение и деление многозначных чисел на однозначные числа;

• 4-й класс – умножение и деление многозначных чисел на многозначные, возведение натуральных чисел в натуральную степень.

Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вычитания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание – как разбиение группы на две. Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-действенном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а, с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием.

В дальнейшем понятие о сложении и вычитании становится более разносторонним и глубоким за счет рассмотрения их с других точек зрения: сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание – как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, то есть ответить на вопрос о том, на сколько одно число больше (меньше) другого. Используется и другой аспект расширения понятий об этих действиях – помимо сложения и вычитания натуральных чисел, происходит знакомство с выполнением этих действий с дробными числами с одинаковыми знаменателями, а также сложение и вычитание отрезков, многоугольников, объемных тел.

Первоначально дети находят значения сумм и разностей так, как считают нужным. Как правило, это пересчет элементов после объединения заданных множеств или после выделения одного из подмножеств из заданного множества или присчитывания и отсчитывания элементов. Учителю в этот период необходимо побуждать детей сравнивать эти способы так, чтобы и на этой основе дети смогли сделать самостоятельный вывод о том, какой из способов более рационален.

Следующим шагом является начало знакомства с общепринятым способом выполнения рассматриваемых действий – таблицей сложения.

Если в классе есть хотя бы один ученик, который не использует счетный материал (палочки, пальцы и т.д.), а записывает результаты действий по памяти, необходимо привлечь внимание остальных учеников к этому способу, предложив такому ученику рассказать, как он получает результат. Объяснение, как правило, одно – ученик помнит результат действий наизусть. Если же таких учеников нет, главным действующим лицом становится сам учитель. Именно он показывает, что не пользуется счетным материалом, и объясняет, почему это так. После этого сообщает, что существует таблица сложения, запомнив которую, можно без счетного материала находить значения сумм и разностей.

После завершения представленной выше работы начинается основной этап изучения сложения и вычитания – составление таблицы сложения. Он распадается на три части:

– составление таблицы сложения без перехода через десяток;
– сокращение этой части таблицы до необходимого и достаточного минимума на основе переместительного закона сложения и расположения чисел в натуральном ряду;
– составление таблицы сложения с переходом через десяток.

Составление всей таблицы сложения строится на основе состава числа из двух однозначных чисел.

При сокращении таблицы сложения желательно провести занятия так, чтобы они были максимально эмоциональными. Для этого вся таблица должна быть сосредоточена в одном месте (лучше всего отвести в тетради специальную страницу, на которую постепенно заносятся составленные столбики таблицы). Всего на ней окажется 36 равенств. Естественно, такое количество равенств детям запомнить трудно. Однако после сокращения останется только 12 равенств, запомнив которые, можно найти значение любой суммы и разности.

В отличие от подачи материалов в традиционной системе внетабличное сложение и вычитание строятся не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании положений, лежащих в основе алгоритма их выполнения:

– поразрядность выполнения каждой из этих операций;
– использование таблицы сложения для вычислений в каждом разряде.

Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев.

Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел. С ними детям сравнительно легко работать, а операции с ними без значительной затраты сил и времени дети могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.

Как и в большинстве случаев, дети должны самостоятельно создать алгоритм выполнения изучаемых операций. Рассмотрим фрагмент урока, на котором появляется алгоритм выполнения действия сложения, на основе выполнения задания 117 из учебника для 2-го класса.

Учитель. Откройте учебник на с. 46, найдите задание 117 и выполните пункт 1.

Дети. Мне кажется, что второй рисунок удобнее – в нем пучки вместе и палочки тоже вместе.
– А я думаю, что оба рисунка удобные – ведь и пучков, и палочек немного, их легко сосчитать на каждом рисунке.
– Мне кажется, что все-таки Борин рисунок лучше. Конечно, пересчитать пучки и палочки легко на каждом рисунке, а если их будет очень много и все они будут лежать в беспорядке, то пересчитать будет гораздо труднее: можно какую-то палочку пропустить.

У. Подумайте, какое мнение вам кажется верным.

Д. Оба верные.
– Нет, все-таки верно, что удобнее второй рисунок, особенно в тех случаях, когда пучков и палочек много.
– Я тоже так считаю: ведь когда наведен порядок, всегда удобнее выполнить задание.

У. Какие математические операции и в каком порядке нужно выполнить, чтобы найти значение суммы 34 + 45?

Д. Сначала нужно сложить десятки, потом единицы, а в конце сложить значения этих сумм.
– Мне кажется, что сначала слагаемые надо заменить суммами разрядных слагаемых.

У. Молодцы, все сказали правильно. Прочитайте пункт 6 этого же задания и ответьте на поставленный вопрос.

Дети читают и все соглашаются с предложенным утверждением.

– А теперь попробуйте самостоятельно сделать математическую запись определения значения данной суммы.

Дети работают самостоятельно, после завершения работы учитель предлагает сравнить получившуюся у них запись с данной в учебнике:

34 + 45 = (30 + 4) + (40 + 5) = (30 + 40) + (4 + 5)= = 70 + 9 = 79

– Чем отличается ваша запись от данной? Какие вы допустили ошибки?

Д. Я не записала суммы разрядных слагаемых;
– А я не ставил скобки, и все равно получился тот же ответ.
– Такая запись неверная – ведь важно складывать в нужном порядке, а если скобок нет, порядок будет совсем другой.
– Для нахождения результата скобки не важны, для осознания алгоритма сложения скобки важны.
– Я сначала складывала единицы, а потом десятки.
– Я думаю, это не ошибка – ведь мы знаем переместительный закон сложения.

У. Сейчас мы попробуем найти значения сумм таким же способом и объяснить каждый наш шаг.

Учитель вызывает к доске двух-трех детей, которые допустили ошибки или погрешности при составлении записи. Каждый из них работает с одной суммой из пункта 5. Остальные дети работают самостоятельно с другими суммами из этого пункта.

– Гриша, расскажи, как ты нашел значение своей суммы.

Гриша – один из работающих на доске – повторяет шаги алгоритма сложения. Затем учитель приглашает еще четырех учеников и предлагает каждому выбрать одну из табличек: 1-й шаг – разбиение на разрядные слагаемые, 2-й шаг – сложение десятков, 3-й шаг – сложение единиц, 4-й шаг – сложение полученных результатов.

– Сейчас я предлагаю Лене, Олегу, Коле и Ире найти значение суммы 65 + 23, выполняя по очереди определенный шаг в соответствии с номером, который у него на груди. Нам с вами предстоит понаблюдать за «живым» решением выражения.

Дети выполняют задание. Коля у доски неверно определил 2-й шаг: он объединил его с 3-м. Лена и другие ученики помогли ему понять, в чем он ошибся.

Во 2-м классе начинается изучение действий умножения и деления. Первое из них рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых, второе – как действие, обратное умножению, при помощи которого по значению произведения и одному множителю можно узнать другой множитель.

В дальнейшем умножение и деление рассматриваются и с других точек зрения: как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого.

При решении задач рассматриваются случаи, приводящие к делению на равные части («Учительница раздала 27 тетрадей ученикам, по 3 тетради каждому. Сколько учеников получили тетради?») и делению по содержанию («Учительница раздала 27 тетрадей поровну девяти ученикам. Сколько тетрадей получил каждый ученик?»).

Как и при изучении темы «Сложение и вычитание», одним из важнейших вопросов знакомства с новыми действиями (умножение и деление) является составление таблицы умножения. Стремясь максимально использовать связь между сложением и умножением, мы отказались от принципа ее составления, основанного на последовательном увеличении количества одинаковых слагаемых

(2 + 2, 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 2 + 2 и т.д.).

В системе Л.В. Занкова первым шагом в составлении таблицы умножения является выделение из таблицы сложения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.

Таким образом, первый столбик таблицы умножения объединяет все случаи умножения однозначных натуральных чисел на число 2:

2 x 2 = 4
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
5 x 2 = 10
6 x 2 = 12
7 x 2 = 14
8 x 2 = 16
9 x 2 = 18

В дальнейшем величина второго множителя последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9.

Такой подход к составлению таблицы умножения является более предпочтительным и потому, что после сокращения составленной таблицы на основе переместительного закона умножения и использования особых случаев этого действия оставшаяся для заучивания часть таблицы легче запоминается детьми, так как по мере увеличения второго множителя число равенств, оставшихся в таблице, сокращается.

Табличное деление выполняется учащимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.

В дальнейшем область применения умножения и деления расширяется за счет изучения внетабличного выполнения этих операций: умножения и деления многозначных чисел на однозначное число. И в основе изучения этой темы также лежит осознание двух позиций, аналогичных тем, которые рассматривались при изучении внетабличного сложения и вычитания:

– поразрядность выполнения этих действий;

– использование таблицы умножения в каждом разряде.

На этом этапе формируется общий подход к выполнению действий умножения и деления, который затем переносится с соответствующими дополнениями на любые числа натурального ряда.

Изучение умножения и деления натуральных чисел завершается в 4-м классе темой «Умножение и деление на многозначное число».

В целях расширения и углубления представлений детей об изученных операциях рассматриваются случаи их выполнения с геометрическими объектами: сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число и деление на равные части.

Большую роль в осознании связи между обратными действиями играет знакомство с уравнениями, их решение на основе этих взаимосвязей, которые начинаются в 1-м классе и продолжаются до конца обучения в начальной школе.

Формированию осознанного и прочного навыка выполнения изученных действий способствуют систематические наблюдения за изменением результата изученных операций при изменении одного и (или) двух компонентов. Такие наблюдения проводятся на протяжении всего времени обучения в начальной школе и завершаются их обобщением в 4-м классе.

Рассмотрим, например, задание 87 из третьей части учебника для 1-го класса.

Или задание 245 из учебника для 4-го класса.

В 4-м классе ученики знакомятся с пятым действием – возведением в степень. Оно рассматривается как действие, заменяющее умножение равных множителей, и используется только на множестве натуральных чисел. Это действие также связывается с изучением таких величин, как площадь и объем.

Задания для самопроверки:

1. Перечислите основные задачи, решению которых посвящено изучение тем «Изучение чисел» и «Изучение действий».

2. В чем особенности изучения концентра однозначных чисел в системе?

3. Воспроизведите единый план изучения остальных концентров и укажите возникающие при их изучении различия.

4. С какой целью включены в программу по математике знакомство с ненатуральными числами и действием возведения натуральных чисел в степень?

5. На какой теоретической основе строится в системе изучение натуральных чисел?

6.В чем особенности изучения действий в системе и какова первоначальная теоретическая основа их выполнения?

7. Какую роль играют таблицы сложения и умножения в изучении действий?

Рекомендуемая литература:

1. Занков Л.В. Избранные педагогические труды.

2. Аргинская И.И. Математика: Методическое пособие к учебнику 1-го класса четырехлетней начальной школы. М.: ЦОР1, 2003.

3. Аргинская И.И. Математика: Методическое пособие к учебнику 2-го класса четырехлетней начальной школы. М.: ЦОР1, 2003.

4. Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика: Учебник для 1-го класса. В 5 частях: Изд. 3-е, испр. и доп. Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2004.

5. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебники для 2-го класса: Изд. 2-е, испр. и доп. Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2003.

6. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебники для 4-го класса четырехлетней начальной школы. Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2003.