ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ"

Ирэн АРГИНСКАЯ,
Елена ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекция 1.

Методические основы личностно ориентированной системы обучения, направленной на общее развитие школьника

Лекция знакомит со взглядами Л.В. Занкова на понятие «система обучения» и ее основные характеристики, главными из которых являются типические свойства методической системы.

Как справедливо говорил Леонид Владимирович Занков, дидактические принципы создают теоретическую возможность определенного построения обучения, но практически оно существует только в методической системе и в частных методиках по отдельным предметам.

Он рассматривал методическую систему не как конгломерат (механическое объединение) частных предметных методик, где на первый план выступает то, что отделяет методику одного предмета от методики другого, а как единство, охватывающее все учебные предметы и обладающее определенными типическими педагогическими свойствами, т.е. главным он считал то, что должно являться общим для всех предметных методик.

Этими свойствами являются многогранность, процессуальность, коллизии и вариантность.

Охарактеризуем содержание каждого из свойств методической системы.

Многогранность как свойство методической системы состоит в том, что процесс обучения должен одновременно решать различные задачи: обеспечить усвоение знаний, умений и навыков; продвигать учеников в общем развитии; способствовать воспитанию школьников. Благодаря этому свойству в сферу учения вовлекается не только интеллект ребенка, но и его эмоции, стремления, нравственные позиции и многие другие стороны личности. Фундаментом процесса учения становятся духовные потребности, среди которых особое место занимает потребность в познании. Для такого подхода характерно преодоление одностороннего интеллектуализма, когда многогранная личность ребенка подменяется интеллектом, вернее, мышлением.

Учитывая, что заложенное в свойстве многогранности единство интеллектуального и эмоционального для младших школьников решается в сторону преобладания эмоционального, именно эмоции, задействованные в учебном процессе, являются его пусковым механизмом.

Насколько большое значение имеет для младших школьников эмоциональное восприятие того, чем они занимаются на уроках математики, может показать такое наблюдение: при встречах с учениками старших классов, которые обучались в начальной школе по занковской системе, на вопрос о том, что они лучше всего помнят из этого давнего этапа знакомства с математикой, первый ответ, как правило, связан с сокращением таблицы сложения в первом классе, которое действительно всегда сопровождается своеобразным эмоциональным взрывом, вызванным резким сокращением количества равенств (в 3 раза), которые нужно помнить наизусть.

Математика, как и любой другой предмет, предоставляет немало возможностей для эмоциональных переживаний. Чтобы эти возможности полноценно использовать, необходима гибкость методики, которая выступает, таким образом, одним из выражений многогранности.

Приведем пример гибкой реакции учителя на ответы детей, приведшей к принципиальному пересмотру задуманного учителем урока.

Учитель. Найдите значения сумм

5 + 3,
3 + 2,
7 + 2,
4 + 4.

Дети выполняют задание, некоторые при этом смотрят в карточки-справочники во время самого решения, некоторые – после решения, некоторые совсем не заглядывают в них.

– Кто не проверил решения по справочнику, сделайте это сейчас и исправьте ошибки, если найдете.

Большая часть детей проверяет.

– Кто-нибудь нашел ошибки?

Трое поднимают руки.

– Молодцы, внимательно проверяли. Сеня, запиши значения сумм на доске.

Один из учеников, поднимавших руку, выходит и записывает верные ответы.

– У всех получились такие числа?

Дети. Да!

У. Теперь слушайте внимательно, это непростое задание: значения каких других выражений можно найти при помощи записанных равенств?

Через некоторое время дети начинают поднимать руки.

– Антон, что ты хочешь сказать?

Антон. Я могу по равенству 5 + 3 = 8 узнать, сколько будет 5 + 2.

У. Как же ты это узнаешь? Я что-то не поняла.

Антон. А вот как: 5 + 3 = 8, а 2 меньше, чем 3, на один, тогда и получится не 8, а 7.

В классе возникает оживление, дети перешептываются, многие поднимают руки, подпрыгивают на своих местах.

У. Вы что-то хотите сказать?

Дети. Антон интересно придумал!

– Я теперь знаю, как найти 4 + 3 – будет тоже 7.

– А можно вместо 5 поставить 6 и получится 9, ведь 6 больше на 1.

– А я хочу сказать: если запомнить одно равенство с суммой, можно много-много других сумм сосчитать!

– А я думаю – не много, а, наверное, все, какие есть.

У. Мне тоже кажется, что Антон очень интересный способ предложил, и вижу, что он вам понравился. Напишите к каждому данному равенству кто сколько захочет сумм, значения которых можно найти с их помощью.

Дети с большим удовольствием приступают к работе.

В плане урока учительница предусматривала совсем другое выполнение задания – выход на равенства, связанные с переместительным законом сложения и связью между сложением и вычитанием, т.е. равенство

5 + 3 = 8

должно было послужить основой для решения выражений

3 + 5,
8 – 3,
8 – 5.

Процессуальность – это ряд органически вытекающих друг из друга этапов, приводящих к подлинному овладению знаниями, умениями и навыками. Высокое качество учения ребенка достигается только при постоянном углублении знаний, умений и навыков на всех этапах учения за счет установления все новых и новых связей между материалом, изучаемым в данный момент, изученным ранее и тем, который предстоит изучать в дальнейшем.

Рассмотрим с точки зрения этого типического свойства изучение такого основополагающего понятия математики, как число.

Прежде всего у школьников формируются такие дочисловые понятия, как много и мало. Затем проводится работа по осознанию недостаточности этих понятий для сравнительной характеристики реальных групп предметов (множеств). Это осознание вызывает потребность в понятиях, более адекватно отражающих соотношения между сравниваемыми множествами, таких как больше, меньше, равно, которые формируются на основе установления взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств.

Введение всех этих понятий происходит в активной практической деятельности учеников с использованием как рисунков с изображением сравниваемых множеств, так и особенно реальных групп предметов, которые каждый ученик может взять в руки и соединить в пары разными способами.

Выявление множеств с равным числом элементов становится основой формирования понятия натурального числа как инвариантной характеристики класса равносильных множеств.

В дальнейшем понятие числа углубляется на самых разных этапах изучения математики: при введении первого ненатурального числа – нуль; при получении чисел в результате измерения величин при помощи произвольно выбранных мерок; при изучении арифметических действий, когда число получается в результате использования других чисел; при расширении множества натуральных чисел – от однозначных в начале первого года обучения до девятизначных в конце начальной школы; при знакомстве с дробными и рациональными числами. Этот процесс продолжается и в дальнейшем, при переходе в основную школу.

Требование процессуальности в обучении школьников призвано разрушить иллюзию возможности полноценного усвоения материала после изучения каждого элемента знаний. На самом деле истинное познание возникает только при постоянном поступательном движении каждого элемента знаний до овладения содержанием соответствующего целого, вплоть до всего курса.

Коллизии – это прежде всего столкновение ранее полученных и новых знаний, которое возникает в процессе изучения предмета. Вместе с тем коллизии могут проявляться и в столкновении мнений учеников, в способах решения одной и той же проблемы. Возникновение коллизии при столкновении старых и новых знаний учитель всегда может предвидеть и заложить ее использование в план урока. В остальных случаях коллизии чаще всего возникают спонтанно, и от учителя требуются гибкая реакция и способность к импровизации хода урока в связи с возникшей ситуацией. Возникновение коллизии всегда ведет к всплеску эмоций и стремлений, побуждает к поиску, вызывает интенсивную целенаправленную работу мысли. Приведем фрагмент урока, показывающего возникновение и разрешение коллизии при первом рассмотрении вычитания с переходом через десяток в первом классе.

Учитель. Прочитайте записи на доске. Что вы можете о них сказать?

На доске.

Дети. Все эти записи – выражения.

– Это разности.

– Здесь есть разности, значения которых можно найти, и есть такие, значения которых найти нельзя.

У. Значения каких же разностей нельзя найти и почему?

Д. Нельзя найти значения разностей

(11 – 4), (15 – 8), (16 – 9),

потому что у уменьшаемых этих разностей единиц меньше, чем у вычитаемых.

– Люда правильно говорит. Вот в разности

(11 – 4)

из 1 нужно вычесть 4, а этого сделать нельзя.

– Нет, это неправильно, ведь число 11 больше 4. Значит, можно найти значение этой разности, только нужно придумать, как это сделать.

У. Вот и придумайте, как это можно сделать!

Ученики задумываются, учитель выдерживает паузу, не пытаясь ускорить процесс обдумывания. Наконец, поднимается несколько рук.

Д. Я придумал так: из 1 вычесть 4 нельзя, а вот из 10 – можно. Получится 6. Да еще одну единицу надо добавить, всего получится 7.

У. Вы согласны с Ваней?

Дети соглашаются.

Д. А я нашла значения всех этих разностей по таблице сложения: ведь мы знаем, что если из значения суммы вычесть слагаемое, то получится другое слагаемое.

– А я придумал еще другой способ: я сначала вычел 1 и получилось 10, а потом от 10 отнял остальные 3 единицы и получилось 7.

У. Так верно было мнение, что не все данные разности можно вычислить?

Д. (С энтузиазмом отрицательно качают головами, восклицают.) Нет! Неправильно! Совсем неправильно!

У. Дома подумайте, почему вам сначала показалось такое мнение верным, и завтра мы это обсудим.

Использование естественно возникающих коллизий, акцентирование на них внимания учеников является отличительной чертой занковской системы, служит в ней мощным инструментом для углубления знаний учащихся.

Вместе с тем искусственное создание коллизий, вернее – псевдоколлизий, в случаях когда для этого нет никаких существенных оснований, может сыграть и отрицательную роль, запутывая мысль детей, уводя их от уже достигнутого ими понимания. В качестве примеров естественно возникающих коллизий могут служить такие моменты: знакомство с получением натурального числа как результата измерения длины выбранными мерками; переход к изучению двузначных чисел и их записи; использование сложения для увеличения числа и многие другие случаи.

Вариантность. Это свойство определяется тем, что обучение всегда протекает в различных конкретных условиях. Эти различия возникают как в связи с особенностями каждого конкретного учителя (его возрастом, темпераментом, уровнем педагогического мастерства и т.д.), так и в связи с особенностями детей, которых он обучает (с уровнем их развития, готовности к обучению в школе, темпом деятельности, темпераментом, особенностями семейного положения и многим другим).

Основной задачей свойства вариантности является поиск путей и средств реализации системы обучения сообразно этим объективно существующим различиям. Существование этого свойства исключает жесткую регламентацию профессиональной деятельности учителя.

В частности, это означает отсутствие поурочных разработок, регламентирование количества контрольных работ в течение учебного года, объема записей в тетрадях учеников на каждом уроке, а также других видов работ и т.д.

В системе существуют лишь общие приблизительные рекомендации (в виде примерного понедельного распределения материала программы, среднего количества заданий учебника, рекомендуемых для использования на одном уроке, а в последующих классах – среднего количества заданий учебника и дополняющих его тетрадей на печатной основе в течение учебного дня и т.д.).

Это дает учителю возможность выбрать оптимальный для каждого конкретного класса темп деятельности и в определенных пределах – порядок изучения материала.

Одним из важных проявлений свойства вариантности является отбор заданий для работы с детьми из того избыточного по объему материала, который заложен в учебники и сопровождающие их тетради.

Рассматриваемое типическое свойство является основой для проявления творческого потенциала учителя. Чем глубже он понимает систему, чем выше его профессиональное мастерство, тем большее значение для него имеет та свобода творчества, которая вытекает из свойства вариантности.

Соответствие любого нового курса, привлекшего внимание учителя, названным типическим свойствам методической системы послужит четким ориентиром для понимания его соответствия системе.

Ценность и важность такого общего подхода многократно возросли в настоящее время, когда в школах и на прилавках магазинов появилось множество учебных пособий и методических рекомендаций к ним, разработанных различными авторами по отдельным предметам, из которых учитель по своему усмотрению выбирает те, по которым он будет обучать своих учеников.

При этом очень часто не учитывается, что при отсутствии у авторов общих научных позиций и отсутствии у учителя критериев оценки совместимости выбранных пособий дети неизбежно попадают в конфликтную педагогическую ситуацию, характеризующуюся противоречивостью педагогических требований.

Это пагубно сказывается как на усвоении знаний, умений и навыков, так и, особенно, на состоянии психики и здоровья ребенка.

Рассмотрим достаточно часто встречающиеся в обучении математике ситуации.

• Начинающий работать в системе учитель, опасаясь не достичь привычного и значимого для него результата в умениях и навыках, использует одновременно два учебника (чаще всего в дополнение к учебникам математики, разработанным в системе, берутся хорошо знакомые учителю учебники математики М.И. Моро). Будучи вполне доброкачественными в системе обучения, для которой они созданы, названные учебники абсолютно непригодны для использования в системе Л.В. Занкова в силу совершенно других научно-теоретических позиций и методических подходов к обучению. В том числе они никак не соотносятся ни с дидактическими принципами, ни со свойствами методической системы, созданной под руководством Л.В. Занкова.

Приведем один из примеров такого несоответствия.

Для занковской системы характерно преобладание косвенного пути формирования знаний, умений и навыков, что вытекает из свойства процессуальности методической системы, в то время как для учебников, названных выше, характерен принципиально другой – прямой путь их формирования. В результате возникает постоянное столкновение разных методических подходов, которые взаимно разрушают друг друга.

Возникнув на основе естественных для начала работы в новой системе опасений, описанная выше ситуация опасна еще и тем, что становится препятствием на пути полноценного овладения системой учителем. Ведь вместо постепенного все более глубокого проникновения в ее суть он идет по пути наименьшего сопротивления, заменяя овладение новыми подходами и путями обучения, их осмысление, возвращением к старым стереотипам, в преодолении которых и происходило становление системы.

• Вместо учебника, разработанного в рамках единой системы, учитель использует учебник, созданный в рамках другой системы, которая также ставит целью обучения не только формирование знаний, умений и навыков, но и развитие детей (в качестве таковых учебников чаще всего выступают пособия по математике Л.Г. Петерсон, очевидно, в силу того, что автор очень активно, хотя совершенно неоправданно сама пропагандирует их как относящиеся к системе Л.В. Занкова).

Как бы ни были хороши сами по себе учебники, выбранные учителем, их использование разрушает связи, которые объединяют все учебники системы Л.В.Занкова, в едином педагогическом поле образуется разрыв, который заполняется инородным по методическим позициям материалом.

Анализ этих пособий с точки зрения их соответствия типическим свойствам методической системы показывает, что авторы, ориентируясь в большой мере на дидактические принципы, выдвинутые Л.В. Занковым, в области методики действовали в разрез с типическими свойствами, отразившими взгляды Леонида Владимировича на практическое построение обучения школьников в системе общего развития.

Ярким показателем несоответствия рассматриваемых учебников позициям системы Л.В. Занкова является поурочное построение, которое полностью уничтожает важнейшую из них – ориентацию учителя на детей, которых он в настоящий момент обучает, со всеми их особенностями, в том числе и темпом деятельности, характерным для них.

Можно было бы и далее разбирать позиции, по которым названные учебники не соответствуют как типическим свойствам, так и этой системе в целом, но при желании это легко сделает сам учитель.

Все сказанное отнюдь не означает, что учитель вообще не может использовать в работе с учениками интересующие и привлекательные для него учебники, но при этом необходимо ясно представлять себе, что использование учебников, взятых из разных систем, не дает права считать, что учитель работает по одной из них.

В таком случае учитель работает по своей собственной, скомпонованной им системе и не должен вводить в заблуждение ни себя, ни администрацию школы, ни авторов систем, отдельные части которых он использует (в том числе, конечно, и авторов системы Л.В. Занкова). Все положительные и отрицательные результаты такого обучения полностью относятся к его организатору – учителю.

Совсем иначе можно оценить привлечение в процесс обучения по занковской системе накопленного учителем профессионального опыта. Осмысленный с позиций новой системы, он становится ее органической частью, обогащает и совершенствует методику обучения детей, отражает индивидуальность каждого учителя, позволяет использовать его творческий потенциал.

Наиболее продуктивно этот процесс протекает тогда, когда учитель полноценно владеет системой обучения, направленной на достижение высокого уровня общего развития школьников.

Задания для самопроверки:

1. Какую роль играют типические свойства в методике обучения по системе Л.В. Занкова?

2. Какое типическое свойство методической системы является ведущим в построении плана изучения каждой темы курса математики?

3. Каковы источники появления коллизий в процессе изучения математики?

4. Какую роль играют коллизии в процессе обучения?

5. Какое типическое педагогическое свойство способствует использованию индивидуальных особенностей учителя, создает благоприятную ситуацию для его самовыражения?

6. Какое влияние оказывает свойство многогранности на процесс изучения математики?

Рекомендуемая литература:

1. Занков Л.В. Избранные педагогические труды.

2. Аргинская И.И. и др. Математика, учебник-тетрадь для 1 класса.

3. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика, учебники для 2, 3, 4 классов.

4. Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика, рабочие тетради на печатной основе для 2, 3, 4 классов.

5. Сборник программ для четырехлетней начальной школы (система Л.В.Занкова).