Как научить младших школьников решать текстовые задачи?

На этот вопрос отвечает проф. Наталья Борисовна ИСТОМИНА – автор учебно-методического комплекта по математике для четырехлетней начальной школы, который входит в комплект "Гармония".

Традиционно сложилось так, что к решению текстовых задач младшие школьники приступают довольно рано. Правда, сначала это простые задачи, для решения которых надо выполнить одно арифметическое действие (сложение или вычитание). Но уже на этом этапе учащихся знакомят со структурой задачи (условие, вопрос), с такими понятиями, как известное, неизвестное, данные искомые, с краткой записью задачи и с оформлением ее решения и ответа.

Очевидно, что большинство первоклассников не только не способны на данном этапе проанализировать текст задачи, установить взаимосвязь между условием и вопросом, выделить известные и неизвестные величины и выбрать арифметическое действие для решения задачи, но не могут даже прочитать задачу.

Естественно, возникает вопрос: может быть, целесообразнее познакомить детей со структурой текстовой задачи и с ее решением позже, когда они научатся читать?

Но в преподавании математики уже сложились определенные традиции. Так учили решать задачи в курсе "Арифметика", ориентируясь на типы простых задач и рассматривая как основное средство формирования у младших школьников представлений о конкретном смысле арифметических действий. Эта же методика нашла отражение в учебниках математики (авт. М.И. Моро и др.), по которым учителя начальных классов работают с 1969 года. Позже в них были внесены дополнения, связанные с названиями структурных компонентов задачи. Этот же методический подход, при котором простая задача является основным средством формирования у младших школьников математических понятий, остался в учебниках математики 2002 года издания для 1–4-х классов, хотя нельзя не отметить, что авторы увеличили время подготовительного периода для знакомства учащихся с задачей.

Представляя определенную познавательную ценность, такой подход имеет один существенный недостаток: решая простые задачи с помощью предметных моделей, ученик не осознает необходимости выбора арифметического действия для ответа на вопрос задачи, так как может ответить на него, используя счет предметов. В связи с этим запись решения задачи оказывается для него формальной операцией, дополнительной нагрузкой. Например, решая задачу: "У зайчика было 9 морковок, 3 морковки он съел. Сколько морковок осталось у зайчика?", ученик выставляет на наборное полотно 9 морковок. "Это в задаче известно", – говорит он. Затем убирает 3 морковки: "Это тоже известно, эти морковки зайчик съел". Фактически ответ на вопрос задачи получен, так как оставшиеся на доске морковки ученик может пересчитать. Но теперь надо записать решение задачи. "Морковок стало меньше, чем было, значит, нужно вычитать", – произносит ребенок и записывает решение задачи.

Как видим, логика выполняемых учеником действий лишена всякого смысла. Сначала он ответил на вопрос задачи, затем сделал вывод, "что получилось меньше", и поэтому выбрал вычитание.

Если мы обратились к ученику с вопросом "Какое действие ты выберешь для решения задачи?", то у него уже должны быть определенные представления о тех действиях, из которых он будет осуществлять выбор. Но оказывается, что эти представления только формируются у младших школьников в процессе решения простых задач. А для выбора арифметических действий используются житейские представления детей, которые сориентированы в большинстве случаев на слова-действия в тексте задачи: подарили – взяли, было – осталось, пришли – ушли, улетели – прилетели – или на способность ребенка представить ситуацию, которая описывается в задаче. Но и с этим справляются не все дети, так как этому их не учили.

Поэтому возникает второй вопрос: может быть, целесообразно сначала разъяснить детям смысл действий сложения и вычитания, а потом уже приступить к решению простых задач?

Заметим, что сторонником этой точки зрения был прогрессивный русский методист Ф.А. Эрн, который считал, что у ученика сначала должны быть сформированы понятия об арифметических действиях, а лишь после этого – умение выбрать то или иное действие для решения данной простой задачи.

Как известно, процесс решения задачи связан с выделением посылок и построением умозаключений. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач, необходимо провести определенную работу по формированию у школьников основных приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение), использование которых является необходимым при анализе текста задачи.

Из приведенных выше размышлений следует, что решению текстовых задач должна предшествовать большая подготовительная работа, целью которой является формирование у младших школьников: а) навыков чтения; б) приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение); в) представлений о смысле арифметических действий, на которые они смогут опираться, осуществляя поиск решения задачи.

Рассматривая текстовую задачу как словесную модель ситуации (явления, события, процесса), а ее решение – как перевод словесной модели в символическую (математическую) – выражение, равенство, уравнение и т.д., целесообразно до решения текстовых задач создать учащимся условия для приобретения опыта в интерпретации той или иной ситуации на различных моделях. Средством создания этих условий может являться методика формирования у учащихся представлений о смысле арифметических действий, в основе которой лежит установление соответствия между словесными (вербальными), предметными, графическими (схематическими) и символическими моделями. Овладев этими умениями до решения текстовых задач, учащиеся смогут использовать приемы моделирования как общий способ деятельности, а не как частный прием для решения той или иной конкретной задачи.

Данный методический подход к обучению младших школьников решению текстовых задач является ответом на вопрос, как научить младших школьников решать текстовые задачи.

Этот подход можно представить в виде двух этапов.

I этап – подготовительный. На нем младшие школьники овладевают навыками чтения; приемами умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения); усваивают смысл основных математических понятий: "сложение", "увеличить на", "вычитание", "уменьшить на", "разностное сравнение"; учатся использовать отрезки как средство моделирования этих понятий, овладевают умением складывать и вычитать отрезки, знакомятся со схемой.

II этап – основной. На нем учащиеся знакомятся со структурой задачи (условие, вопрос, известные, неизвестные), учатся анализировать ее текст (здесь уже не имеет значения, простая это задача или составная), переводить словесную модель в схематическую и (или) в символическую и овладевают умением записывать решение и ответ задачи.

Рассмотрим более подробно организацию деятельности учащихся на каждом этапе.

Первый этап

Так как предлагаемая методика обучения решению задач реализуется в курсе, направленном на систематическое формирование у детей приемов умственной деятельности, то работа в этом направлении осуществляется при изучении каждой темы, на каждом уроке математики, в каждом учебном задании, в процессе выполнения которых дети усваивают математическое содержание программы.

Так, при изучении темы "Число и цифра" дети выполняют задания из учебника для 1-го класса № 62–64, 71, 72.

При изучении темы "Длина" – № 94–96.

При изучении темы "Однозначные числа" учащиеся пользуются присчитыванием и отсчитыванием при выполнении заданий № 114, 115.

Безусловно, формирование навыков чтения не является основной задачей курса математики, поэтому словесные формулировки, сопровождающие в учебнике каждое задание, не следует рассматривать как материал для упражнений в чтении. Использование различных формулировок заданий позволяет детям осознать тот факт, что прежде, чем выполнять задание, его необходимо внимательно прочитать и понять. Тем самым учащиеся приучаются внимательно читать словесную инструкцию и анализировать условия выполнения предложенного задания. Этот навык является очень важным для решения задач.

После знакомства учащихся с отрезком в учебнике предлагаются задания на моделирование отношений: № 121–128.

Для разъяснения смысла арифметических действий используется способ соотнесения различных моделей: предметной, вербальной, графической и символической. Покажем, как можно организовать такую деятельность учащихся на конкретном уроке по теме "Сложение".

Первый вариант урока

Учитель. Прочитайте слово, которое написано наверху страницы.

Дети. Сложение.

У. Может быть, кто-нибудь знает, что означает это слово?

Д. Это плюс, это прибавить. У зайчика одна морковка, а у белочки 3. Всего у них 4 морковки. Это сложение.

Помимо этих ответов, были и другие, но они в меньшей степени относились к содержанию этого понятия.

У. Сегодня на уроке мы постараемся разобраться, что же такое сложение. Кто может прочитать задание? (№ 152). Расскажи, что делают Миша и Маша?

Д. Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум, они сажают рыбок вместе. Маша запускает в аквариум трех рыбок, а Миша двух; рыбки будут плавать вместе и т.д.

Обратите внимание, сколько важных и нужных слов, характеризующих смысл действия "сложение", произнесли дети. При этом, заметьте, им не давалось никакого образца. Каждый из них работал на своем уровне и использовал только те слова, которые ему были понятны.

У. Я попробую изобразить на доске то, что нарисовано на картинке.

Учитель выкладывает на фланелеграфе трех рыбок.

– Все ли правильно я сделала?

Д. Вы показали рыбок только Маши, надо еще добавить рыбок Миши. У него две рыбки.

Учитель выкладывает на фланелеграфе еще двух рыбок.

Аналогичная работа проводится с верхней правой картинкой, которая дана в учебнике. Миша ставит в вазу четыре тюльпана, а Маша пять васильков. Они объединяют цветы вместе в одной вазе.

У. Вы очень хорошо рассказывали, что нарисовано на картинках. А теперь давайте попробуем то, что вы рассказывали словами, записать с помощью математических знаков. Посмотрите, под картинками даны в рамочках какие-то записи. Может быть, некоторые из вас могут их прочитать, а вот как они называются, вы, наверное, не знаете.

Некоторые дети пытаются угадать названия записей. Одни говорят – примеры, другие – неравенства, третьи даже – таблица умножения.

У. Нет, никто не угадал. Эти записи называются "математические выражения".

Д. А здесь это написано.

У. Верно, прочитай всем ребятам то, что написано в учебнике. (Действия Миши и Маши можно записать математическими выражениями.)

– А теперь внимательно рассмотрите эти выражения. Может быть, кто-то догадается, какие выражения относятся к верхней левой картинке.

Ориентируясь на числа, дети называют выражения 3 + 2 и 2 + 3 и объясняют, что обозначает каждое число в выражении: 3 – это количество рыбок, которых Маша запускает в аквариум, 2 – это количество рыбок, которых Миша запускает в аквариум.

У. Верно, выражения 3 + 2 и 2 + 3 обозначают, что рыбок объединили вместе.

Теперь подберите выражения к верхней правой картинке.

Дети легко справляются с заданием и объясняют, что обозначают на картинке числа 4 и 5.

У. А теперь попробуйте самостоятельно подобрать выражения к другим картинкам. У каждого из вас листочек, который разделен на четыре части. Вы должны записать выражения, которые подходят к левой нижней картинке и к правой нижней картинке.

Дети самостоятельно выполняют задание. Учитель наблюдает за их работой, ходит по классу, помогает некоторым детям. Затем он пишет на доске, которая разделена на четыре части, математические выражения.

На доске:

– Посмотрите на доску. Я записала два выражения, которые увидела у одного ученика в тетради. Все ли с ним согласны?

Д. Это надо записать к верхней картинке.

– Это неверно. Здесь надо записать 3 + 1 и 1 + 3, потому что у Маши 3 конфетки, а у Миши одна. Они складывают их в одну вазочку.

У. Ну, а если я запишу к нижней левой картинке выражение 2 + 2 – это будет верно?

Находятся ученики, которые с этим соглашаются, так как 2 + 2 это 4. Но другие возражают. Это неверно, ведь Маша кладет в вазочку три конфетки, а Миша одну.

У. А теперь догадайтесь, к какой картинке подходит запись 4 + 5 = 9?

Посмотрите, здесь появился новый знак, который называется "равно", а запись 4 + 5 = 9 называется "равенство".

Равенства могут быть верные и неверные. Что значит "верные равенства"?

Каждое из равенств, предложенных в учебнике, записывается на доске и проверяется на предметных моделях (это могут быть любые предметы).

Для проверки равенства дети пересчитывают или присчитывают предметы.

У. Давайте теперь прочитаем в учебнике, как предлагает проверять равенства Миша.

(Обсуждается рисунок числового луча, который учитель выносит на доску.)

Названия компонентов можно ввести на втором уроке по теме. Во второй урок включаются также упражнения, при выполнении которых дети выбирают рисунок на числовом луче, соответствующий картинке, или выбирают выражение, соответствующее рисунку на числовом луче, или выбирают картинку, соответствующую рисунку на числовом луче.

Таким образом, для разъяснения действия сложения активно привлекается ранее изученный материал (счет, присчитывание, числовой луч). Простая задача заменяется способом соотнесения различных моделей: предметной (рисунки), вербальной (описание картинок), графической (рисунок на числовом луче), символической (запись выражения, равенства).

Второй вариант урока

На доске изображен числовой луч. Учитель вызывает к доске двух учеников. Дети поворачиваются спиной к классу, и учитель дает каждому из них какие-то предметы.

Учитель комментирует:

У. Я даю грибочки Лене и Вере. Они их сосчитают и скажут мне число на ушко. А я покажу вам на луче, сколько грибочков у каждой из них.

Учитель выполняет на доске рисунок:

Учитель комментирует свои действия:

У Лены столько грибочков (проводит первую дугу), а у Веры столько грибочков (проводит вторую дугу).
Кто угадал, сколько грибочков у Лены? Сколько грибочков у Веры? Сколько всего грибочков у Лены и у Веры?

У. Давайте проверим, правильно ли вы ответили на мои вопросы. Девочки выкладывают грибочки на фланелеграфе (4 больших и 4 маленьких).
А теперь я объединю большие и маленькие грибочки (проводит кривую замкнутую линию, внутри которой оказываются большие и маленькие грибочки). Кто сможет записать на языке математики то, что я сделала?

Дети записывают 4 + 4 и поясняют, что обозначает каждое число в данном выражении.

Как видим, на втором уроке учитель для разъяснения смысла сложения сначала воспользовался графической моделью, затем перешел к предметной, далее к словесной (дети описали, что они видят на картинке) и после этого познакомил их с символической моделью (выражение, равенство).

Аналогично, ориентируясь на страницу учебника, можно построить урок при знакомстве детей с вычитанием.

Таким образом, решение простых задач заменяется различными упражнениями (учебными заданиями), в процессе выполнения которых дети усваивают конкретный смысл действий сложение и вычитание. Приведем такие упражнения: (тетрадь с печатной основой № 1) № 63, 64–67, 68, 70, 79.

Для разъяснения понятия "разностное сравнение" – "На сколько больше? На сколько меньше?" – особое значение имеет выбор предметной модели. Дело в том, что если в качестве предметной модели используется рисунок, на котором предметы расположены друг под другом, то детям довольно трудно осознать, что ответ на вопрос "На сколько больше (меньше)?" связан с выполнением действия вычитание. Если же ребенок не осознает этой связи, а только запомнит правило: "Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее", – то при решении задач он будет ориентироваться только на внешний признак, а именно на слово "на сколько".

В качестве примера можно привести такую задачу: "На остановке из автобуса вышли 3 девочки и 7 мальчиков. На сколько человек в автобусе стало меньше?" (До 50% детей решают задачу вычитанием.)

Не представляя предметного смысла разностного сравнения, многие дети, отвечая на вопрос "На сколько меньше?", выбирают вычитание. А для ответа на вопрос "На сколько больше?" выбирают сложение.

Приведем примеры заданий, в процессе выполнения которых дети усваивают предметный смысл разностного сравнения: № 261, 267 (учебник для 1-го класса), № 18, 19, 24 (тетрадь с печатной основой № 2, 1-й класс).

Для формирования у детей умения представлять ситуацию, описанную словами, предлагаются задания на соотнесение вербальных и предметных моделей: № 393, 402 (учебник для 1-го класса).

В I четверти 2-го класса учащиеся знакомятся со схемой: № 41, 42, 49, 58 (учебник для 2-го класса).

Второй этап

Для формирования умения читать текст задачи (выделять условие, вопрос, известные, неизвестные), анализировать его с точки зрения математических понятий и отношений, устанавливать взаимосвязь между условием и вопросом используются различные методические приемы.

К решению задач учащиеся приступают во II четверти 2-го класса.

1) Сравнение текстов задач, выявление их сходства и различия:№ 131, 132,138, 149 (учебник для 2-го класса).

2) Составление задач по данным условиям и вопросу: № 35 (а), 36 (а) (тетрадь "Учимся решать задачи", 1–2-й классы).

3) Перевод словесной модели задачи или ее условия в схематическую модель: № 41 (а), 43 (а) (тетрадь "Учимся решать задачи", 1–2-й классы).

4) Выбор схемы № 44 (а) (тетрадь "Учимся решать задачи", 1–2-й классы).

5) Завершение начатой схемы, соответствующей данной задаче: № 49 (а), 59 (а), (б) (тетрадь "Учимся решать задачи", 1–2-й классы).

6) Объяснение выражений, составленных по условию задачи: № 179 (учебник для 2-го класса).

7) Выбор вопросов, соответствующих данному условию: № 191; на которые можно ответить, пользуясь данным условием: № 222 (учебник для 2-го класса).

8) Выбор условий, соответствующих данному вопросу: № 230 (учебник для 2-го класса).

9) Дополнение текста задачи в соответствии с данным решением: № 65 (тетрадь "Учимся решать задачи").

10) Дополнение текста задачи в соответствии с данной схемой: № 42 (а), (б), № 72 (а), (б).

11) Выбор задачи, соответствующей данной схеме: № 77.

12) Выбор решения данной задачи: № 37 (тетрадь).

13) Постановка к данному условию различных вопросов и запись выражения, соответствующего каждому вопросу: № 34 (тетрадь).

14) Обозначение на схеме известных и неизвестных в задаче величин: № 51 (а), (б), 69 (а), (б) (тетрадь).

Для проверки сформированности умения решать задачи учитель предлагает детям самостоятельно записать решение различных задач. Если у детей возникают затруднения, то учитель может использовать любые сочетания методических приемов в зависимости от содержания задачи.

Уроки математики

2-й класс

Тема. "Решение задач"

Цель. Формирование умений анализировать текст задачи и интерпретировать его на схематической модели (перевод вербальной модели в схематическую).

Учитель. Мы продолжаем сегодня на уроке учиться решать задачи. В этом нам помогут задания из тетради "Учимся решать задачи"¹. Откройте задание № 48. Прочитайте задание (а) про себя, затем вслух.

– Теперь прочитайте задание (б).

– Попробуем выполнить задание самостоятельно. Это поможет вам сделать вывод о том, поняли ли вы текст условия задачи или нет.

Дети работают самостоятельно (пользуются простым карандашом). Все справляются с заданием, выбирая схему 4 и обозначая на ней известные в условии задачи величины. Учитель открывает на доске заранее нарисованные такие же, как в тетради с печатной основой, схемы.

Учитель. Кто хочет нарисовать схему на доске?

Желающих много. К доске выходят два ученика и быстро "оживляют" схему 4:

Учитель. Читаем задание в). Прежде чем отвечать на вопросы, давайте их обозначим на выбранной схеме.

Дети выполняют задание самостоятельно в тетради, учитель наблюдает за их работой и вызывает к доске тех, кто испытывает затруднения. К доске выходят по очереди трое детей. Каждый обозначает на схеме один вопрос.

Схема на доске принимает следующий вид:

У. Теперь вы можете самостоятельно ответить на каждый вопрос, записав арифметические действия.

С первым вопросом быстро справляются все дети: 7 + 2 = 9 (л.). Второй вопрос также не вызывает затруднений. У всех в тетрадях запись: 9 + 3 = 12 (л.). Дети внимательно изучают схему, сверяя ее с уже выполненными действиями. Учитель фиксирует варианты ответов детей на доске и предлагает обсудить их:

Дети. 12 – 9 = 3 – это неверно. Было уже известно, что Лена на 3 года старше Веры.

– В вопросе спрашивается, на сколько лет Лена старше Маши; Лене 12 лет, а Маше 7. Значит, надо из 12 вычесть 7.

У. А кто мне скажет, на сколько Маша младше Лены?

Д. Здесь действия выполнять не нужно; на сколько Лена старше Маши, на столько Маша младше Лены.

У. А кто ответил на третий вопрос так: 3 + 2 = 5? (Поднимается пять рук.) Я что-то не понимаю, как вы рассуждали?

Д. А это видно на схеме. (Выходит к доске и показывает отрезок, равный сумме двух отрезков: один обозначает число 2, а другой – число 3.)

У. Я думаю, что без схемы было бы трудно предложить такой способ ответа на вопрос.

Дети соглашаются с учителем.

У. Ну а теперь давайте попробуем изменить условие задачи, чтобы оно соответствовало схеме 1.

Д. Маше 7 лет, Вере столько же, а Лена на 3 года старше Маши. (Выходит к доске и показывает условие на схеме.)
– Маше и Вере по 7 лет. А Лена старше Веры на 3 года. (Выходит к доске и показывает условие на схеме.)

У. А подойдет ли такое условие? Маше столько же лет, сколько Вере. А Лена на 3 года старше Веры.

Д. В общем-то подойдет. Только ни на один вопрос не ответить.
– Если поставить вопрос, то получится задача, в которой не хватает данных.

Аналогичная работа проводится со схемой 2. Дети "оживляют" схему на доске и устно отвечают на те же вопросы.

Третий вопрос изменяется: "На сколько лет Лена младше Маши?"

У. Я вижу, что вы умеете работать со схемой, поэтому давайте попробуем начертить схему к другой задаче самостоятельно. Но прежде чем читать задачу, откройте тетради и начертите произвольный отрезок.

Дети чертят отрезок, после этого открывают задание № 159 из учебника².

Читают задание.

– Ответим сначала на вопрос задания.

Д. Здесь начало совсем одинаковое.

У. Я что-то не пойму, что значит начало?

Д. Ну, условия одинаковые…
– Я не согласен. Условия разные. В левой задаче не сказано, сколько стульев было в зале, а во второй сказано: в зале было 84 стула.

Д. В левой задаче не хватает данных.

У. Для чего не хватает? Для ответа на первый вопрос?

Д. Нет, на первый вопрос ответить можно, а вот на второй нельзя.

У. Ну, а во второй задаче можно ответить на два вопроса?

Д. Во второй можно.

У. Давайте обозначим все стулья в зале отрезком, который вы начертили. Пользуясь этим отрезком, начертите схему, которая соответствует задаче.

Дети работают самостоятельно. Учитель рисует на доске схему:

Дети ее обсуждают.

Д. Ну, здесь все неверно. Ведь вы сказали обозначить отрезком все стулья в зале.

Д. Я нарисовал так. (Выходит к доске, чертит отрезок от руки и обозначает его.)

На доске:

– Теперь будем выносить стулья. (Рисует на схеме и комментирует.) Сначала вынесли 24 стула, потом еще 10.

У. Ну хорошо, пусть вопросы по схеме поставит кто-то другой.

Дети заканчивают схему.

– Запишите решение задачи в тетради.

Дети записывают решение самостоятельно. Учитель помогает тем, кто испытывает затруднения. Тем, кто быстро записал решение задачи, предлагается выполнить задание № 162.
Дети с удовольствием выполняют его. Для остальных на доске записано: "№ 162", и дети уже знают, что это задание – на дом.

Комментарий

В соответствии с методикой обучения решению задач, реализованной в учебниках (авт. Н.Б. Истоминой и др.), дети знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы те знания, умения и навыки, которые необходимы для овладения обобщенными умениями решать текстовые задачи (читать задачу, выделять условие и вопрос, известные и неизвестные величины, устанавливать взаимосвязь между ними и на этой основе выбирать арифметические действия, выполнение которых позволяет ответить на вопрос задачи). В их число входят: а) навыки чтения; б) усвоение конкретного смысла действий сложения и вычитания, отношений "больше на", "меньше на", разностного сравнения; в) приобретение опыта в соотнесении предметных, вербальных, схематических и символических моделей; г) сформированность приемов умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, обобщения); д) умение складывать и вычитать отрезки; е) знакомство со схемой как способом моделирования.

Такая подготовительная работа позволяет построить методику формирования обобщенных умений решения текстовых задач в соответствии с концепцией курса и создать условия для развития мышления младших школьников посредством решения текстовых задач.

3-й класс

Тема. "Во сколько раз?.."

Цели. Разъяснить предметный смысл вопроса "Во сколько раз больше (меньше)?" Первый урок по теме.

ХОД УРОКА

На доске нарисована схема:

Учитель. Послушайте условие задачи: "Коля нашел 24 гриба, Вова в 3 раза меньше, а Маша на 4 гриба больше".

Поставьте к данному условию вопросы, на которые вы сможете ответить, выполнив арифметические действия.

Дети. Сколько грибов нашел Вова? 24 : 3 = 8 (г.)
– Сколько грибов нашла Маша? 8 + 4 = 12 (г.)
– Сколько грибов нашли Коля и Маша? 24 + 8 =  32 (г.)
– Сколько грибов нашли Вова и Маша? 8 + 12 =  20 (г.)
– На сколько больше нашел грибов Коля, чем Вова? 24 – 8 = 16 (г.)
– На сколько больше грибов нашел Коля, чем Маша? 24 – 12 = 12 (г.)
– Сколько грибов нашли все дети? 24 + 8 + 12 =  44 (г.)

Учитель открывает заранее сделанные на доске записи:

У. Прочитайте, что записано на доске. С чем вы уже знакомы? А с чем встречаетесь впервые?

Дети читают: "Увеличить в несколько раз".

– Кто пояснит на данной задаче смысл этого понятия?

Д. Я думаю так: у Вовы 8 грибов, а у Коли в 3 раза больше.

У. Хорошо. А какое действие надо выполнить, чтобы получить результат в 3 раза больше?

Д. Умножение 8 x 3 = 24.

У. А что значит уменьшить в несколько раз?

Д. Это надо делить. У Коли 24 гриба, а у Вовы в 3 раза меньше. Надо: 24 : 3 = 8 (г.).

У. Прочитайте теперь вопросы, которые записаны на доске.

На доске:

– Может быть, кто-нибудь догадался, какое надо выполнить действие, чтобы сразу ответить на эти два вопроса?

Дети молчат.

– А может быть, мы уже встречались с таким случаем, когда, выполняя одно действие, мы сразу отвечали на два вопроса?

Д. Мне это напоминает вот что. Когда мы отвечали на вопрос, на сколько одно число больше другого, мы выполняли вычитание. Но мы ведь сразу отвечали и на другой вопрос: на сколько одно число меньше другого?

У. Молодец! Теперь давайте попробуем разобраться в смысле вопросов: "Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?"

Д. Я думаю, здесь надо выполнять деление, но объяснить не могу.

У. Хорошо. Сравните отрезки, которыми обозначены грибы Коли и Вовы. Сколько раз маленький отрезок укладывается в большом?

Д. Три раза.

У. Что это значит?

Д. Это значит, что большой отрезок в 3 раза больше маленького, а маленький отрезок в 3 раза меньше большого.

У. А какое действие надо выполнить, чтобы получить число 3?

Д. Надо 24 : 8 = 3.

У. У каждого из вас на парте две фигуры. Одна состоит из двух прямоугольников, другая из шести. Сколько раз два прямоугольника укладываются в шести?

Д. 3 раза.

У. Проверьте это.

Дети накладывают маленькую фигуру на большую.

– А теперь выберите выражение, которое соответствует тому, что вы делали.

Д. Я думаю, 6 : 3. Мы 6 делили на 3 части.
– Я не согласен. Мы не делили на 3 части, а сначала положили 2 прямоугольника на большой один раз, потом второй раз, потом третий раз. И узнали, сколько раз два прямоугольника укладываются в шести.
– Я считаю, что надо разделить на 2, и получим, что 3 раза 2 прямоугольника укладываются в шести.

У. Я вижу, мнения разделились.

Учитель открывает на доске новый рисунок:

Под ним две записи: 20 – 5 = 15; 20 : 5 = 4.

– Что обозначает первое равенство?

Д. На сколько клеток слева больше, чем справа, или на сколько справа меньше, чем слева.

У. А равенство 20 : 5 что обозначает?

Д. Сколько раз 5 квадратов укладываются в 20 квадратах.

У. Когда мы выясняем, сколько раз 5 укладывается в 20, мы отвечаем сразу на два вопроса: "Во сколько раз 20 больше 5?" и "Во сколько раз 5 меньше 20?"

Учитель предлагает на доске еще один рисунок:

– Что означают равенства, записанные под рисунком?

18 – 3 = 15 18 : 3 = 6

– Хотите прочитать, что по этому поводу думают наши друзья Миша и Маша?

Д. Да.

Дети открывают текст на странице. 58, № 177³.

У. А теперь попробуйте самостоятельно ответить на вопросы, которые даны на странице 59.

Дети самостоятельно записывают в тетради выражения, отвечая на вопросы:

Учитель наблюдает за работой детей, затем пишет на доске выражения:

– Какое выражение вы записали, отвечая на первый вопрос?

Д. 18 : 6.

У. На второй?

Д. 18 – 6.

У. На третий?

Д. 18 – 6.

У. На четвертый?

Д. 18 : 6.

У. Откройте тетрадь с печатной основой (№ 1, 3-й класс), № 104⁴.

У. Прежде чем записывать равенство, давайте выясним: сколько раз левая фигура уложится в фигуре справа? Кто догадается, как это сделать?

Чтобы не запутаться, я предлагаю вам два мелка разного цвета.

Один ученик выходит к доске и закрашивает справа три квадратика, другой продолжает, потом третий, четвертый...

Учитель переносит рисунок на доску:

Д. Левая фигура уложилась в правой 7 раз.

У. Что это значит?

Д. Это значит, что площадь правой фигуры в 7 раз больше площади левой.
– Площадь левой в 7 раз меньше площади правой.

У. Какое же равенство мы записали?

Д. Я посчитал квадратики справа, их 21, а слева 3. Если 21 : 3, то получим 7.

У. Может быть, в случае б) мы сможем сначала записать равенство, а потом проверим себя, закрашивая фигуры?

Д. Я посчитаю справа маленькие треугольники.

У. Считайте! Кто быстрее всех это сделает?

Д. У меня получилось 35. Я считал так: сначала квадраты в верхнем ряду, их 9, значит, треугольников 18. А в нижнем ряду квадратов на 1 меньше. Их 17.
18 + 17 = 35

– А я посчитал треугольники в одном столбике, их 4, а столбиков 9. 4 x 9 = 36
А в последнем столбике не 4, а 3. Значит, треугольников не 36, а 35.

– А я считал каждый треугольник. У меня тоже 35.

У. Как же теперь узнать, во сколько раз справа треугольников больше, чем слева?

Д. Справа 35 треугольников, слева – 5. Надо 35 : 5 =  7.

У. Теперь проверьте, сколько раз левая фигура уложится в правой.

Дети, пользуясь двумя цветами, закрашивают правую фигуру.

– Я думаю, что теперь вы сможете самостоятельно закончить это задание дома.

Задание на дом: № 104 (в, г), № 107 (тетрадь с печатной основой № 1, 3-й класс).

Елена РОЖДЕСТВИНА,
учитель школы № 33,
г. Оренбург

4-й класс

Тема. "Деление многозначного числа на однозначное".

Цель. Усвоение алгоритма письменного деления.

Урок начинаем с проверки домашнего задания № 223⁵.

Учитель. Дома вы не только упражнялись в письменном делении многозначного числа на однозначное, но и должны были ответить на вопрос задания № 223. Давайте прочитаем этот вопрос.

Дети читают задание.

У. Ну и какой же вывод?

Дети. Я решила три примера и готова была уже утверждать, что в разряде единиц получится 0, но в четвертом примере в ответе получилось 3498. Значит, вывод такой: если в делимом в разряде единиц стоит цифра 0, то в частном в разряде единиц может получиться любая цифра.

У. А если ответить на вопрос задания?

Д. Тогда так утверждать это нельзя.

У. Прочитайте теперь равенства, в которых в значении частного три цифры.

Д. Это 6440 : 7 = 920.
– 8370 : 9 = 930.
– 4680 : 8 = 585.

У. Прочитайте полученные в домашней работе результаты в порядке возрастания.

Д. 585, 920, 930, 1070, 1185, 1760, 2520, 3498.

У. У кого были трудности с решением домашней задачи?

Учитель открывает таблицу, заранее заготовленную на доске.

– Как вы рассуждали, отвечая на первый вопрос?

Д. Если на 9 машинах перевезли 47 700 т зерна, то на одной машине в 9 раз меньше.

У. Но ведь в задаче не сказано, что на 9 одинаковых машинах.

Д. Я подумал, что машины одинаковые, потому что дальше сказано: 12 таких машин.
– Если бы машины были неодинаковые, то и задачи бы не было.

Дети записывают рядом с вопросами значения величин:

Обсуждается, что 63 600 кг = 63 т 600 кг.

У. А можно ли записать ответ в других единицах массы?

Д. Можно в центнерах. 1 ц = 100 кг, значит, 63 600 кг = = 636 ц.

У. Теперь выполним задания, целью которых является осознание тех операций, которые входят в алгоритм письменного деления. Откройте тетрадь на странице 55 и найдите задание № 118 (тетрадь с печатной основой № 1 для 4-го класса).

Дети подчеркивают первое неполное делимое и обозначают точками количество цифр в частном. Обмениваются тетрадями, проверяют выполнение задания. Работа в тетрадях с печатной основой продолжается.
I вариант выполняет первый столбик.
II вариант – второй столбик.
Дети обмениваются тетрадями, проверяют работу друг у друга. Учитель наблюдает за работой, помогает тем, кто затрудняется. Так как необходимости в проверке выполнения задания нет, переходим к следующему этапу работы.

– Откройте учебник, найдите пример № 236.

– Читайте задание про себя.

Д. Я думаю, столбики составлены по количеству цифр в частном.

У. Все согласны?

Д. В первом столбике четыре цифры в частном, во втором – три цифры, в третьем – четыре цифры, в четвертом – три цифры в частном.

У. Но зачем тогда понадобилось четыре столбика? По-моему, тогда должно быть два столбика. В одном – четыре цифры в частном, а в другом – три цифры в частном.

Д. Здесь вот еще о чем надо сказать. Там, где четыре цифры в частном, в одном столбике при делении первого неполного делимого получаем остаток. А в другом столбике (это третий столбик) тоже четыре цифры в частном, но при делении первого неполного делимого остаток равен нулю.

У. Давайте проверим это. Выполним деление в тетрадях.

Дети выполняют деление:

Д. Я думаю, что можно еще так сказать. В частном получается четыре цифры, но в одном столбике отсутствуют единицы разряда сотен.
– А я думаю, что там, где три цифры в частном, будет так же. В четвертом столбике отсутствуют единицы разряда десятков.

У. Давайте проверим это.

Дети выполняют деление в тетрадях:

– Вы уверены, что обнаруженная вами закономерность будет выполняться во всех случаях?

Д. Я уверена. Это легко доказать. Например, 7236 : 9; 72 : 9 = 8, а следующее неполное делимое – 3. Оно меньше 9. Если меньшее число делим на большее, то в частном получаем 0.

У. Кто попробует так же рассуждать при вычислении значений следующих выражений?

Д. 2781 : 9; 27 : 9 = 3; 8 < 9; 8 : 9 = 0 (ост. 8), в частном пишем 0.
– 1525 : 5; 15 : 5 = 3; 2 < 5; 2 : 5 = 0 (ост. 2), в частном в разряде десятков пишем 0.

У. Дома вы поупражняетесь в делении, выполнив № 236 (1-й, 2-й столбики). А теперь начертите в тетради два произвольных равных отрезка. (Рисует на доске два произвольных отрезка.)

– Прочитайте в учебнике задачу № 237.

– Скажите, что можно обозначить в этой задаче теми отрезками, которые вы начертили?

Д. Я думаю, что они могут обозначать количество стульев в кабинетах, когда в один поставили 9, а в другой – 12 стульев.

У. Тогда дорисуйте в тетрадях схему так, чтобы она соответствовала задаче.

Все дети справляются с рисованием схемы. Сначала в тетрадях, а затем на доске появляется схема:

У. Я думаю, что с помощью схемы вы легко справитесь с планом решения задачи.

Д. План такой: сначала узнаю, сколько стульев стало во втором кабинете. А по условию задачи известно, что стульев в кабинетах оказалось одинаково. Значит, в первом кабинете стульев стало столько же, сколько во втором. Теперь можно узнать, сколько стульев стояло в первом кабинете. Получается два действия.

У. Решим устно. Какое первое действие?

Д. 15 + 12 = 27 (с.) – во втором и в первом кабинетах.
– 27 – 9 = 18 (с.) стояло в первом кабинете.
– А я решил задачу другим способом. Я сначала узнал, на сколько во второй кабинет стульев поставили больше, чем в первый (12 – 9 = 3 (с.)). Но когда поставили стулья в один и другой кабинеты, их стало одинаково. Значит, во втором кабинете стульев стояло на 3 меньше, чем в первом. Или в первом кабинете стульев стояло на 3 больше, чем их стояло во втором. Поэтому 15 + 3 = 18 (с.). Ответ тот же, значит, задача решена верно.

У. Задание на дом № 234 (задача); 236 (1-й, 2-й столбики).
Подведем итог урока. Для этого я предложу вам такое задание (пишет на доске произвольное число): 3217024512192867. Я думаю, что никто из вас не сможет прочитать это число. Тем не менее попробуем разделить его на 5. Дописываю: 3217024512192867 : 5.
У меня два вопроса: могу ли я определить количество цифр в частном? Могу ли выполнить деление уголком?

Д. Я могу это сделать.

У. А у кого другое мнение?
Других мнений нет, правда, некоторые дети сомневаются.
– Итак, сколько цифр получится в частном?

Д. Я думаю, 15.

У. Попробуем выполнить деление. Как вы думаете, сколько учеников могут принять участие в работе? (Ученики в замешательстве.)
– А сколько будет неполных делимых?

Д. 15!

У. Начали работать!

Дети по очереди выходят к доске и выполняют деление.

На доске:

Комментарий

В процессе усвоения предметного содержания (алгоритма письменного деления) дети активно используют приемы умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, обобщения).

Организуя процесс усвоения учащимися алгоритма письменного деления, учитель руководствуется следующими принципами организации учебной деятельности:

– приоритет самостоятельной деятельности учащихся в усвоении предметного содержания;
– соблюдение баланса между интуицией и знанием (при решении последнего задания урока);
– единство интеллектуальных и специальных умений и др.

Ольга БАРАНОВА,
учитель прогимназии № 1755,
г. Москва

¹ Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 1–2 классы. М: Линка-Пресс, 2002.

² Истомина Н.Б. Нефедова И.Б. Математика, 2-й класс. Смоленск: "Ассоциация XXI век", 2001.

³ Истомина Н.Б. Нефедова И.Б. Математика, 2-й класс. Смоленск: "Ассоциация XXI век", 2001.

⁴ Истомина Н.Б. Клецкина А.А. тетрадь № 1 по математики для 3-го класса. Смоленск: "Ассоциация XXI век", 2001.

⁵ Истомина Н.Б. Математика, 4-й класс. Смоленск: "Ассоциация XXI век", 2000.