Ольга ИНШАКОВА,
учитель школы № 57
г. Москвы

Продолжение. Начало в № 21, 22, 24, 29, 32, 34, 38, 39, 41, 46/2003

Леворукие дети и математика

Освоение алгоритма письменного сложения

Письменные варианты сложения и вычитания можно рассматривать как приемы выполнения этих действий более легким способом, требующим знания таблиц сложения и вычитания в пределах 10 в случае выполнения действий без перехода через десяток, и в пределах 20 в самых сложных случаях сложения двух слагаемых. Однако для записи в столбик необходимо знание разрядного состава числа, а случае перехода через разряд – соотношения разрядных единиц, то есть особенностей десятичной системы счисления.

На практике для прочного усвоения навыка письменного сложения необходимо сознательное восприятие способа выполнения при понимании каждой производимой операции. Успех формирования навыка обеспечивается продуманным подбором примеров: сначала без перехода через разряд, а потом с одним переходом при сложении двузначных чисел, затем с двумя при получении в сумме трехзначного числа и, наконец, с двумя переходами при работе с трехзначными числами. Навык вырабатывается в процессе многократного осмысленного выполнения вычислительных операций, что не означает, что бедному ребенку предстоит прорешать целую тетрадь все усложняющихся, но однотипных примеров – ведь существуют не менее полезные задания на заполнение "окошек" в уже оформленной записи, поиск ошибок в уже выполненых примерах. Главное – чтобы эти задания не воспринимались как отдых, поскольку на самом деле требуют применения большего разнообразия мыслительных операций, чем решение обычных примеров.

Обязателен постоянный контроль за правильностью выполнения, чему очень помогает устное проговаривание выполняемой операции на первом этапе отработки навыка, так как при наблюдении за работой класса учитель при всем желании не может отследить ошибки отдельных учащихся. Неверное же закрепление навыка на начальном этапе плачевно скажется в дальнейшем. Поэтому по крайней мере на первом уроке, посвященном изучению письменного сложения, а в дальнейшем и других арифметических действий, решение примеров занимает после объяснения правила выполнения алгоритма оставшуюся часть урока, обеспечивая тем самым контролируемое закрепление каждому ученику и придавая некую целеустремленность и целостность уроку. Алгоритм письменного сложения, с которым учитель в том или ином виде знакомит детей на уроке, знаком каждому. Однако донести до учеников надо достаточно сложный алгоритм. Поэтому вариант, усваиваемый ребенком, выглядит проще:

1. Подписываю одно слагаемое под другим так, чтобы единицы были под единицами, десятки – под десятками (и т.д.).
2. Провожу черту под вторым слагаемым и слева ставлю знак "+". Сумма будет под чертой внизу.
3. Складывать начинаю с единиц. Если получаю число больше 9, то внизу пишу единицы, а десяток учту при сложении десятков.

Ученик обучается правильному и последовательному выполнению алгоритма благодаря его поэтапной отработке сначала с устным комментированием по карточке, затем без нее (согласно теории управления процессом учения), а понимание смысла и цели каждой операции отрабатывается на специально подобранных разнообразных примерах.

Проанализируем возникающие ошибки с учетом специфики левшей.

Первое затруднение, испытываемое левшами, вызвано необходимостью очень аккуратной записи слагаемых таким образом, чтобы единицы соответствующих разрядов оказались строго друг под другом. Однако это достигается достаточно легко после некоторой тренировки и помощи учителя, подсказывающего, что между соседними столбиками по горизонтали следует пропускать 3 клеточки, равно как и по вертикали.

Второе достаточно часто встречающееся затруднение вызвано очень характерной для левшей причиной: при устных вычислениях сначала подсчитывали десятки, а затем единицы – привыкнув, ребенок продолжает действовать стереотипно, чему левши очень подвержены. Ситуация осложняется тем, что на первой ступени освоения навыка отрабатываются примеры без перехода через десяток и результат от неверно выбранного направления движения не меняется. Ошибочные рассуждения могут быть выявлены только благодаря отработке алгоритма сложения в громкоречевой форме. Однако стереотип успевает закрепиться, пока очередь доходит до этого ребенка, и часто выясняется, к сожалению, что он не одинок. И, конечно, собратом по несчастью тоже оказывается левша.

При сложении в столбик без перехода через десяток к специфической можно отнести только ошибку при получении результата с точностью ± 1. Так они считают. Конечно, весьма вероятны и другие арифметические ошибки из-за нетвердого знания таблицы сложения, но они встречаются реже, поскольку отработка табличных случаев ведется постоянно.

К характерным для рассматриваемой группы детей ошибкам относится замена знака на противоположный при списывании, но чаще выполнение вычитания осуществляется и тогда, когда слева ими самими записан знак "+" (1).

Следующими по частоте допущения должны быть признаны ошибки на непризнание десятка даже в виде надписанной над разрядом единицы, перешедшего из предыдущего разряда (2). Иногда они ее, к сожалению, вообще не пишут, поэтому быстро забывают и не прибавляют вовсе (3).

Что касается непонимания причин возникновения этого десятка, то его практически не возникает.

Методисты не рекомендуют пользоваться надписыванием над следующим разрядом количества десятков, переходящих в него из предыдущего (в случае двух слагаемых это всегда один). Они совершенно справедливо аргументируют это необходимостью развития памяти ребенка, нарушением стройности записей и возможностью моментального избавления от хранящихся "в уме" десятков при начале сложения десятков следующего столбика с него. За отказ от надписывания говорит и тот факт, что места для них в записи, принятой при письменном умножении, где также присутствует сложение, не предусмотрено.

Однако утверждения о "моментальном избавлении", равно как и сам прием, часто бывают губительны именно для левшей. Двигаясь по столбику вверх-вниз, они, по крайней мере на первых порах, могут не только запутаться в числах, восприняв их зеркально, но и выполнить другое действие, не говоря уже о трудностях с применением сочетательного свойства по вертикали вместо горизонтали и обычных ошибках в вычислениях, вероятность которых возрастает. А кроме того, необходимо предупредить о возможных проблемах с отработкой письменного алгоритма умножения, которые будут рассмотрены в соответствующем разделе, в случае привыкания к суммированию десятков, начиная с хранящихся "в уме".

Опыт работы с учащимися, имеющими признаки левшества, показывает, что без применения вспомогательных записей на этапе наработки навыка почти не удается получение верных ответов в случае перехода через разряд. Авантюристическое желание, "как взрослому", на первых порах обойтись без вспомогательных приемов обходится дорого. Но и возможность закрепления приема отбрасывать нельзя, поскольку истинные левши очень скурпулезны и достаточно консервативны.

Тем же, кто не хочет отказаться от удобного приема при сложении, можно помочь либо в игровой форме, либо предложив делать эти записи карандашом именно на этапе отказа от приема, а не раньше, с самого начала, как иногда приучают, – "для красоты". На последнем этапе отработки алгоритма необходимость использования карандашных пометок будет задерживать ребенка и подтолкнет к отказу от них.

Однако существует небольшая группа детей, которую этот вспомогательный прием организует, и отказ от него вызывает активный протест. Нет смысла настаивать, поскольку конечная цель освоения алгоритма состоит в умении его успешного применения на практике, что достигнуто. Опыт показывает, что упрямцы из указанной группы ошибок практически не допускают, за что и сражаются. А о том, как помочь им обойти трудности с пристраиванием вспомогательных записей в многоэтажном алгоритме письменного умножения БЕЗ отказа от этой привычки, будет рассказано в соответствующей главе.

Вернемся к рассмотрению типичных ошибок.

1 1 1 1 1
1) 68; 2) 68; 3) 34; 4) 44; 5) 58; 6) 87; 7) 14; 8) 49
32 24 27 18 27 14 26 28
36 82 51 63 45 1 4 79

Рассмотрим механизм возникновения ошибок в этих примерах.

Ошибки в вычислениях с точностью ± 1 и в письменном алгоритме сложения по-прежнему остаются (4).

Довольно часто присутствует очень интересное сочетание: в разряде единиц ученик выполняет по всем правилам сложение 8 + 7 = 15, число 5 записывает в результат, а 1 – в следующий разряд, но в нем уже выполняет вычитание, увеличив-таки число десятков на 1 (5). Получится 6 – 2 = 4.

Несколько раз встречались две очень забавные ошибки: дети знают, что если в старшем разряде при вычитании получаем нуль, то его не записываем. Левши творчески воплотили это правило в своих рассуждениях (6), не подумав о возникновении сотен: 7 + 4 = 11; 1 записываем в разряд единиц суммы, а десяток – сверху над разрядом десятков. 8 + 1 + 1 = 10. Раз 0 не пишем, то и единицу не надо, ответ: 1.

В другом случае (7) при прибавлении к 4 числа 6 получили 10; 0 в разряд единиц суммы писать не стали, перепутав на этот раз право и лево, а сложив количество десятков, получили ответ: 4.

В последнем из рассматриваемых вариантов злую шутку с левшой сыграло пространство. Посмотрев на пример, девочка вспомнила, что 9 + 9 = 18, а дальше, учтя единицу, перешедшую из разряда единиц, получила ответ 79 (8). Она перепутала сложение 9 и 8 с подбором числа, дающего при сложении с девятью 8 в разряде единиц.

Постепенно дети овладевают алгоритмом письменного сложения, поэтому количество специфических ошибок при сложении двух трехзначных чисел сокращается. А сохранение неверных результатов объясняется тем, что выполнение письменного сложения многозначных чисел требует от учащихся предельной аккуратности и напряжения внимания, что достаточно трудно для левши, особенно если задание включает несколько неоднотипных примеров на применение различных алгоритмов письменных вычислений.

Однако увеличение количества слагаемых до трех, а тем более до четырех приводит к резкому росту ошибочных результатов. Это объясняется необходимостью использования устных вычислений, выходящих за рамки табличных случаев в пределах 20, при подсчете разрядных единиц внутри столбика, а также рассеиванием внимания из-за обилия последовательных операций.

В то же время следует упомянуть и о таких последствиях показа письменного сложения нескольких слагаемых, как автоматический перенос данного приема на вычитание. Не было случая, чтобы, с одной стороны, склонность левшей к стереотипу, а с другой – свойственный им авантюризм не привели бы к появлению вариантов многоэтажных записей, содержащих или последовательное неподдающееся разумному объяснению вычитание или присутствие в одном столбике одновременно двух действий с неизменно плачевным результатом. Вот и приходится возвращаться к случаю письменного сложения нескольких слагаемых вновь и вновь, чтобы к началу освоения письменного алгоритма умножения он был-таки освоен.

Несмотря на кажущуюся легкость по сравнению с письменными способами выполнения остальных арифметических действий, для восьмилетнего ребенка освоенный алгоритм недостаточно прост. Способ выполнения письменного сложения удерживается в памяти хорошо, однако если систематически не возвращаться к нему, то ошибки появляются вновь.

Продолжение следует