Ольга ТАРАКАНОВА,
г. Москва

Формирование комбинаторного стиля мышления

Как известно, комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, как правило конечного множества в соответствии с заданными правилами.
Включение в курс математики начальной школы задач комбинаторного характера связано с целью повышения развивающей функции математики, так как комбинаторные задачи требуют сочетания эвристического и алгоритмического стиля мышления. Эвристическая составляющая мышления требуется на этапе восприятия задачи, поиска способа решения, составления алгоритма перебора или выбора элементов, а алгоритмическая составляющая – при четком выполнении алгоритма.
Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи, использование которых целесообразно у учащихся начальной школы, обучающихся по учебникам Л.Г. Петерсон.
Сначала покажем способы прямого перебора элементов, а затем способ перебора с помощью дерева возможностей.

Способы прямого перебора элементов

1. Сколько однозначных чисел?

Рассуждения ученика. Однозначные числа – это числа от нуля до девяти, следовательно, существует 10 однозначных чисел.

2. Сколько двузначных чисел?

Рассуждения ученика. Так как двузначные числа – это числа от 10 до 99, то есть девяносто девять чисел от 1 до 99, среди них девять однозначных, которые нужно отбросить, значит, останется 99 – 9 = 90.

3. Сколько можно составить двузначных чисел, в записи которых используются только цифры: а) 1 и 2; б) 3 и 0?

Рассуждения ученика. а) Составим первое число 12 и поменяем цифры местами, тем самым получим второе число 21.

Ответ: а) два числа; б) одно число – 30.

4. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2 и 3, если: а) цифры в записи числа не повторяются; б) цифры в записи числа могут повторяться?

Рассуждения ученика.

а) 1 способ. Поставим на первое место цифру 1, на второе место можно поставить цифры 2 и 3, получим числа 12 и 13, поставим на первое место цифру 2, на второе место можно поставить либо 1, либо 3, получим еще два числа – 21 и 23, поставим на первое место цифру 3, на второе – либо цифру 1, либо 2, получим еще два числа – 31, 32.

2 способ. Из цифр 1 и 2 можно составить два числа – 12 и 21, из цифр 1 и 3 – 13 и 31, из цифр 2 и 3 – 23 и 32. Ответ: 12, 21, 13, 31, 23, 32.

б) К полученным шести числам в предыдущей задаче нужно добавить числа, образованные повторяющимися цифрами: 11, 22, 33, 12, 21, 13, 31, 23, 32.

5. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 4, 5 и 0, если: а) цифры в записи числа не повторяются; б) цифры в записи числа могут повторяться?

Рассуждения ученика. а) Цифру 0 на первое место поставить нельзя, остаются случаи, когда на первом месте записана цифра 4 или 5. Если на первое место поставить цифру 4, то возможны два числа, в которых цифры 0 и 5 меняются местами, – 405 и 450. Аналогично составляются числа, когда на первом месте стоит цифра 5, – 504 и 540.

Ответ: 405, 450, 504, 540.

б) Если цифры повторяются, то мы должны добавить к полученным числам в задании а) следующие: с цифрой 4 – число 444; с цифрой 5 – 555, с цифрами 4 и 0 – 400, 404, 440; с цифрами 5 и 0 – 500, 505, 550; с цифрами 4 и 5 – 445, 454, 455, 544, 545, 554.

Ответ: 400, 404, 405, 440, 444, 445, 450, 454, 455, 500, 504, 505, 540, 544, 545, 550, 554, 555.

6. Составьте все однозначные, двузначные и трехзначные числа, которые можно записать с помощью цифр 7 и 0 (цифры в числе могут повторяться).

Рассуждения ученика. Составим однозначные, двузначные и трехзначные числа.

Однозначные числа – 7 и 0.
Двузначные числа – 70 и 77.
Трехзначные числа – 700, 707, 770, 777.

Ответ: 0, 7, 70, 77, 700, 707, 770, 777.

7. Сколько существует двузначных чисел, в записи которых используется хотя бы одна цифра 5? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 2. № 12. С. 31.)

Рассуждения ученика. Девять двузначных чисел имеют цифру 5 в разряде единиц (15, 25 и т.д.) и 10 чисел имеют цифру 5 в разряде десятков (50, 51 и т.д.). Число 55 вошло в оба эти множества и посчитано дважды. Таким образом, получили 9 + 10 – 1 = 18 чисел.

Ответ: 18 чисел.

8. Составьте все трехзначные числа, сумма цифр которых равна 3. (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 2. № 9. С. 54.)

Рассуждения ученика. Составим всевозможные суммы трех чисел, результат сложения которых равен 3: 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 2 + 0 = 3 и 3 + 0 + 0 = 3. Теперь с помощью использованных цифр составим трехзначные числа.
Из единиц можно составить одно число: 111.
Из цифр 1, 2 и 0 можно составить 4 чисел: 120, 102, 201, 210.
Из цифр 3 и 0 можно составить одно число: 300.
Всего получилось 6 чисел – 111, 102, 120, 201, 210, 300.

Ответ: 6 чисел.

9. В аквариуме 3 рыбки: гуппи, сомик и меченосец. Толя запустил в аквариум сачок. Что может в нем оказаться? Перечисли все возможные варианты. (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. № 10. С. 59.)

Рассуждения ученика. Возможны следующие варианты.
Может попасть одна из рыбок: гуппи, сомик или меченосец – 3 варианта.
Могут попасться две рыбки: гуппи и сомик, гуппи и меченосец, сомик и меченосец – 3 варианта.
Могут попасться 3 рыбки сразу – 1 вариант.
Может ничего не попасться – 1 вариант.
Всего вариантов: 3 + 3 + 1 + 1 = 8.

Ответ: 8 вариантов.

10. Сколькими способами можно разложить 5 ручек в 2 пенала? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. № 11. С. 59.)

Рассуждения ученика. Можно считать, что ручки одинаковые и пеналы тоже, значит, разложить ручки можно так: в один положить все 5 ручек, в другой ничего не класть; в один положить 4 ручки, в другой – 1; в один положить 3 ручки, в другой – 2.

11. Виталик, Дима и Сергей решили вместе сфотографироваться. Сколькими различными способами они могут сесть рядом? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. № 1. С. 104.)

Рассуждения ученика. Обозначим мальчиков первыми буквами их имен, тогда получим: ВДС, ВСД, ДСВ, ДВС, СВД, СДВ.

Ответ: 6 способов.

12. Запиши множество четырехзначных чисел, у которых:

а) все цифры одинаковые; б) сумма цифр равна 3. (Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1. № 13. с. 97.)

Рассуждения ученика.

а) Ответ: 9 чисел: 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999.
б) Запишем всевозможные числа, сумма которых равна 3:

3 + 0 + 0 + 0 = 3, 2 + 1 + 0 + 0 = 3, 1 + 1 + 1 + 0 = 3.

К первой сумме можно отнести записать одно число: 3000.
Ко второй сумме можно отнести 6 чисел: 2100, 2010, 2001, 1200, 1020, 1002.
К третьей сумме – 3 числа: 1110, 1101, 1011. Всего 1 + 6 + 3 = 10 чисел.

Ответ: 10 чисел.

13. Запиши множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 9 и которые не изменяются при чтении их слева направо и справа налево. Представь полученные числа в виде суммы разрядных слагаемых. (Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 3. № 10. С. 51.)

Рассуждения ученика. 1 способ. Трехзначные числа, которые одинаково читаются слева направо и справа налево, имеют вид: 1*1, 2*2, 3*3, 4*4. Найдем среднюю цифру, вычитая из 9 сумму двух известных цифр.

Ответ: 171, 252, 333, 414.

2 способ. Рассуждаем по мере прочтения текста и переводим каждую фразу с естественного языка на математический. Например, так: трехзначные числа, обозначим аbc. Так как числа не должны изменяться при чтении слева направо и справа налево, они имеют вид: аba, тогда сумма цифр имеет вид а + b + а = 9. Подставляя вместо переменной а цифры 1, 2, 3, 4, найдем цифру b, затем запишем число:

1…1, b = 9 – 2 = 7. Это число 171.
2…2, b = 9 – 4 = 5. Это число 252.
3…3, b = 9 – 6 = 3. Это число 333.
4…4, b = 9 – 8 = 1. Это число 414.

Ответ: 171, 252, 333, 414.

14. Сколько различных произведений, кратных 10, можно образовать из множителей 2, 3, 5, 7, 9 (порядок множителей не принимается во внимание)? (Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. № 15. С. 12.)

Рассуждения ученика. Чтобы произведение делилось на 10, нужно, чтобы среди множителей были числа 2 и 5.
Если множители не повторяются, то решение будет следующим.
Составляем произведение из двух множителей – 2 х 5.
Составляем произведение из трех множителей – 2 х 5 х 3, 2 х 5 х 7, 2 х 5 х 9.
Составляем произведение из четырех множителей – 2 х 5 х 3 х 7, 2 х 5 х 3 х 9, 2 х 5 х 7 х 9.
Составляем произведение из пяти множителей – 2 х 5 х 3 х 7 х 9.

Ответ: 8 произведений.

15. Найди сумму всех возможных различных двузначных чисел, все цифры которых нечетные. (Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. № 9. С. 40.)

Рассуждения ученика.

1 и 3 – 13, 31; 1 и 5 – 15, 51;
1 и 7 – 17, 71; 1 и 9 – 19, 91;
3 и 5 – 35, 53; 3 и 7 – 37, 73;
3 и 9 – 39, 93; 5 и 7 – 57, 75;
5 и 9 – 59, 95; 7 и 9 – 79, 97.

Запишем нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Составим всевозможные двузначные числа из данных цифр, в записи которых цифры не повторяются.

Добавим числа, в записи которых цифры повторяются: 11, 33, 55, 77, 99.
Найдем их сумму: 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 31 + + 33 + 35 + 37 + 39 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99 = (11 + 99) + + (13 + 97) + (15 + 95) +... + (53 + 57) + 55 = 110 x 12 + 55 = 1375.

Ответ: 1375.

Способ перебора с помощью дерева возможностей

16. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3 и 4? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 2. № 12. С. 15.)

Рассуждения ученика. 1 способ. Сначала запишем все числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 1: 11, 12, 13, 14.
Затем запишем все числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 2: 21, 22, 23, 24.
Запишем числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 3: 31, 32, 33, 34.
Запишем числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 4: 41, 42, 43, 44.
Получилось 16 чисел: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

Ответ: 16 чисел.

2 способ. Построение дерева возможностей.

Диалог учителя с учениками.

Учитель. Сколько существует способов поставить цифру на первое место?

Дети. Четыре: цифры 1, 2, 3 или 4.

У. Рисуем от корня 4 веточки и записываем рядом с веточкой цифры 1, 2, 3 и 4.

Дети выполняют задание.

– Цифру 1 мы уже поставили на первое место. Сколько у нас есть способов поставить цифру на второе место?

Ответы детей.

У. Вторую цифру мы можем выбрать четырьмя способами, это может быть цифра 1, 2, 3 или 4. Рисуем от цифры 1 четыре веточки, под каждой подписываем цифру 1, 2, 3 или 4. Считаем внизу число веточек и получаем ответ на вопрос задачи.

Д. Таких чисел 16.

У. Есть ли среди записанных чисел число 32? Найдите его.

Д. Это десятое число.

У. Запишите все полученные числа.

Д. 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

17. У Тани 2 вида ручек и 4 вида карандашей. Сколько различных комплектов можно из них составить? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. № 2. С. 104.)

Рассуждения ученика. Рисуем дерево возможностей. Обозначим ручки буквой Р, карандаши – буквой К. Так как есть 2 вида ручек, то от ствола рисуем 2 ветки, так как 4 вида карандашей, то от каждой точки рисуем 4 отрезка. Считаем число полученных внизу отрезков – 8.

Ответ: 8 комплектов.

18. У Юры 2 пирамидки, 3 мяча и 2 конструктора. Он хочет выбрать из этих игрушек одну пирамидку, один мяч и один конструктор. Сколькими способами он может это сделать? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. № 5. С. 102.)

Рассуждение ученика. Выделяем слова: пирамидки, мячи и конструкторы. Начинаем строить дерево возможностей. Рисуем сразу 2 отрезка, потому что у нас 2 пирамидки, от каждой точки рисуем 3 отрезка, потому что 3 мяча, от каждой точки рисуем 2 отрезка, потому что 2 конструктора. Считаем число последних построенных отрезков, получаем 12 способов.

Ответ: 12 способов.

19. В одной вазе лежат апельсин, мандарин и банан, в другой – яблоко и груша, а в третьей – персик и слива. Найди все способы, которыми можно взять по одному фрукту из каждой вазы. Сколько всего различных способов? (Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1. № 14. С. 15.)

Рассуждения ученика. Обозначим апельсин буквой "А", мандарин – "М", банан – "Б". Составим дерево возможностей.

Ответ: 12 способов.

20. От Бабы Яги до Кащея ведут 3 дороги, а от Кащея до Кикиморы – 4 дороги. Сколькими способами можно дойти от Бабы Яги до Кикиморы, если надо зайти к Кащею? (Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1. № 12. С. 27.)

Рассуждения ученика. Если первая цифра в записи числа обозначает номер первой дороги, а вторая цифра – номер второй дороги, то возможные маршруты запишем числами: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34.

Ответ: 12 дорог.

21. Пользуясь деревом возможностей, определи, сколько можно составить четырехзначных чисел с цифрой тысяч 1 или 2, цифрой сотен 0, 4 или 7, цифрой десятков 5 или 3 и цифрой единиц 8 или 9. Найди произведение наибольшего и наименьшего из этих чисел. (Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 3. № 19. С. 87.)

Рассуждение ученика. Составим дерево возможностей.

Наибольшее число – 2759, наименьшее число –1038, их произведение – 2863842.

Ответ: 24 числа, 2863842.