Герман ЛЕВИТАС

Окончание. Начало см. в № 41/2001 (1-й класс); №12/2002 (2-й класс); № 22/2002 (3-й класс); № 39/2002 (4-й класс)

Нестандартные задачи на уроках математики в 4-м классе

123. Сорок учеников выстроены в прямоугольник по 10 человек в каждой шеренге и по 4 в каждой колонне. В каждой шеренге выбран самый низенький ученик, а затем из 4 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждой колонне был выбран самый высокий ученик и среди 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или Петров?

Решение. Пусть в той же колонне, что Андреев и в той же шеренге, что Петров, стоит Сергеев. Тогда он выше Андреева и ниже Петрова, то есть Петров выше Андреева.

Ответ: Петров.

124. В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 80% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?

Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например, 0,2 л или не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 80%, а 40% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 40%.

Ответ: 50%.

125. В клетках квадрата 3х3 были записаны натуральные числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми. Некоторые числа стерли. Остались 24 в нижнем правом углу, 15 в центре и 9 правее 15. Восстановите стертые числа.

Решение. Обозначим через а число в правом верхнем углу:

Так как суммы цифр во всех столбцах, строках и диагоналях одинаковы, то каждая из них равна а + 33. Значит, в левом нижнем углу стоит число 18:

Поставим число b левее числа 15:

Так как сумма в левом столбце равна сумме во второй строке, то есть равна 24 + b, то в верхнем левом углу стоит число 6:

У нас заполнилась диагональ, по которой можно найти сумму чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой диагонали. Эта сумма равна 6 + 15 + 24 = 45. Теперь можно заполнить и все остальные клетки.

Ответ:

126. Выписаны подряд все числа от 1 до 60, без пробелов между цифрами: 123456789101112…585960. Надо вычеркнуть 100 цифр, чтобы оставшееся число оказалось наименьшим.

Решение. Всего выписано 111 цифр (9 – на однозначные числа и еще 102 на 51 двузначное число). Значит, после вычеркивания 100 цифр останется 11-значное число. Чтобы оно было самым маленьким, нужно поставить в нем на первое место 1, а на последующие – нули. Однако нулей в нашей записи всего 6. Если мы выпишем их все, то за последним нулем цифр уже не останется. Попробуем оставить нули только от чисел 10, 20, 30, 40 и 50. Тогда у нас получится такое число: 10000051525354555657585960. От него можно оставить после 100000 еще 5 цифр. Так как нуль поставить нельзя, поставим самую маленькую из возможных – 1, вычеркнув первую пятерку после пяти нулей: 1000001525354555657585960. Теперь можно вычеркнуть еще две пятерки и все цифры между 4 и последним нулем, оставляя следующие за ними цифры: 10000012340.

Ответ: 10000012340.

127. Фразу "Страшнее кошки зверя нет" зашифруй кодом Виженера с помощью шифра "дева".

Решение.

Ответ: Цшубэузё пфыло несд узу.

128. Сколько разломов надо сделать, чтобы разломать эту шоколадку на отдельные квадратики?

Решение. Вначале можно попробовать конкретные пути. В каждом случае будет получаться одно и то же: 23 разлома. И наконец, надо объяснить, что каждый разлом добавляет новый кусок. После первого разлома будет два куска, после второго три и так далее. Так как из одного куска нужно получить 24, то разломов будет 23.

Ответ: 23.

129. Имелось 10 мешков с одинаковыми монетами. Злоумышленник заменил один мешок мешком с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая монета весит 10 г, а фальшивая 11 г. Как с помощью одного взвешивания на весах с гирями установить, в каком именно мешке монеты фальшивые?

Решение. Надо перенумеровать мешки. Затем надо взять из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее до десятого, из которого надо взять десять монет. Все эти монеты вместе надо взвесить. Если бы все монеты были настоящими, то все взятые монеты весили бы 10 + 20 + 30 + … + 90 + 100 = 550 г. Но они будут весить больше на столько граммов, сколько среди них фальшивых монет. А число фальшивых монет равно номеру мешка, из которого они взяты. (Например, если монеты весят 556 г, то фальшивых монет 6 и все они из одного мешка. А 6 монет мы брали из шестого мешка.)

130. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется уравнять число орехов во всех этих кучках, причем можно перекладывать из одной кучки в другую столько орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать число орехов в кучке). Как это сделать?

Решение. В результате распределение орехов должно быть таким: 16, 16, 16.
Поэтому предпоследнее распределение должно быть таким: 16, 24, 8.
Перед этим распределение орехов может быть более разнообразным. Но нас должно заинтересовать такое, в котором есть хоть одна кучка с 22 или с 14 или с 12 орехами. Это может выглядеть так: 12, 20, 16.
Если теперь не трогать кучку в 12 орехов, то перед этим возможны такие распределения: 12, 10, 26, или 12, 28, 8.
Второе распределение можно получить из первоначального.

Ответ: Возможен следующий путь решения: 22, 14, 12 – 8, 28, 12 – 16, 20, 12 – 16, 8, 24 – 16, 16, 16.

131. В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 30% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?.

Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например, 0,2 л или не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 30%, а 15% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 15%.

Ответ: 25%.

132. Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток, а потом еще 100 км на север, снова оказаться в точке отправления?

Ответ: Во-первых, это Северный полюс. Но, кроме того, это бесконечное множество точек, лежащих невдалеке от Южного полюса и отвечающих следующему условию: если пройти из такой точки на юг, то окажешься на параллели, длина которой равна 100 : n км, где n – любое натуральное число.

133. 3 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?

Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 3. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

3 м – 200 р.
4,5 м – х р.

Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

1) Сколько стоят 9 м? 200 х 3 = 600 (р.).
2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 2 = 300 (р.).

Возможно и иное решение, так как 4,5 м = 3 м + 1,5 м, а 1,5 м стоят 200 : 2 = 100 (р.).

Ответ: 300 р.

134. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой таблице равна 15. Заполните пустые клетки таблицы:

Решение. Расставим буквы в пустые клетки таблицы:

Так как по условию 6 + a + b = a + b + c, то с = 6. Таким же образом равна 6 каждая из букв, стоящая через 2 после с. Это f, h, k. Так же доказывается, что каждая буква стоящая через две до и после 4, равна 4. Это е, b, j, m. Наконец, из условия 6 + a + b = 15 получаем, что а = 5. То же значение имеют все буквы, стоящие через две после а.

Ответ:

135. Разгадай ребус:

Решение. Так как А х А оканчивается на Е, не равное А, то А не может равняться 0, 1, 5 и 6. Так как при этом Е не равно 9, то А не может равняться 3 и 7. Значит, А может равняться только 2, 4, 8 или 9. Но В х A оканчивается на В, поэтому А не равно 2, не равно 4 и не равно 8. Значит, А = 9 и В = 5. После этого выясняется, что Е = 1, Ч = 2. Остается найти Д. Учитывая, что Д должно быть не больше 4, проверяем две оставшиеся возможности: Д = 3 и Д = 4.

Ответ: 459 х 459 = 210681.

136. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 100?

Решение. Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5. Двоек очень много – они присутствуют во всех четных числах. А пятерок меньше – они имеются только в числах, делящихся на 5. Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25, …, 95, 100. Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 х 5, 50 = 2 х 5 х 5, 75 = 3 х 5 х 5, 100 = 2 х 2 х 5 х 5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24.

Ответ: 24 нуля.

137. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Маршака и Барто, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Маршак и Барто стояли рядом?

Решение. Соединим томики Маршака и Барто в одну связку. Поставив на первое место томик Пушкина, на следующие три места мы можем поставить в любом порядке томик Лермонтова, томик Некрасова и связку. Это можно сделать шестью способами. А так как томики Маршака и Барто можно соединить двумя способами, то способов расставить книги вдвое больше.

Ответ: 12.

138. Муравей сидит на передней грани куба в точак А и желает попасть на верхнюю грань в точку В. Как узнать, по какому кратчайшему пути должен он ползти?

Решение. Если бы события происходили в одной плоскости, ответ был бы прост: ползти по прямой. Поэтому нужно распрямить развертку куба и определить возможный путь. В случае на нашем рисунке это путь АСВ.

Ответ: Распрямить развертку куба и провести прямую линию из точки А в точку В.

139. В ящике 35 шариков. Каждый из двух играющих по очереди вынимает из ящика любое число шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний шарик. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или второй игрок?

Решение. Выигрывает тот, кто возьмет 35-й шарик, следовательно, тот, кто возьмет 29-й шарик, 23-й, 19-й, 13-й, 7-й, 2-й шарик.

Ответ: Выигрывает начинающий, если он возьмет 2 шарика и затем будет дополнять до 6 число шариков, взятых партнером.

140. 2001 год начался с понедельника. А с каких еще дней недели может начинаться век?

Решение. Нужно принять во внимание следующие факты.

1) В невисокосном году 365 дней, то есть 52 полные недели и еще 1 день, так что невисокосный год сдвигает календарь на один день недели.
2) В високосном году 366 дней, то есть 52 полные недели и еще 2 дня, так что високосный год сдвигает календарь на два дня недели.
3) Високосными в нашем григорианском календаре (календаре "по новому стилю") считается любой год, номер которого делится на 4, кроме тех лет, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, то есть, например, годы 2000, 2004 и 2400 – високосные, а годы 2100 и 2200 – невисокосные).
4) В первом веке третьего тысячелетия, а также во втором и в третьем его веке будет по 24 високосных года, а в четвертом веке будет 25 високосных лет.
5) Первый век третьего тысячелетия сдвинет календарь на 124 дня недели, то есть на 5 дней. То же будет и во втором и в третьем веке. А четвертый век (2301–2400 гг.) сдвинет календарь на 6 дней.

Значит, 2101 год начнется с субботы, 2201 – с четверга, 2301 – со вторника, 2401 – с понедельника, так же, как и 2001 год. И в дальнейшем каждые 400 лет все будет повторяться.

Ответ: Век может начинаться с понедельника, вторника, четверга и субботы.

141. 7,5 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?

Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 7,5. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

7,5 м – 200 р.
4,5 м – х р.

Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

3) Сколько стоят 22,5 м? 200 х 3 = 600 (р.).
4) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 5 = 120 (р.).

Ответ: 120 р.

142. В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета. Все носки одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть носков, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков?

Решение. Можно случайно вытянуть первый носок одного цвета, а второй – другого, так что два вытянутых носка могут не образовать пары. Но уже третий носок будет в пару с одним из двух первых.

Ответ: Не более трех.

143. Десяток яиц стоит 16 р. 52 к. Сколько стоят 15 таких яиц?

Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит одно яйцо, придется делить 1652 к. на 15. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

10 яиц – 1652 к.
15 яиц – х к.

Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

1) Сколько стоят 30 яиц?
2) Сколько стоят 15 яиц?

Возможно и иное решение, так как 15 яиц = 10 яиц + 5 яиц, 5 яиц стоят 8 р. 26 к.

Ответ: 24 р. 78 к.

144. В ящике находится 10 пар черных перчаток и 5 пар синих одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть перчаток, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных перчаток?

Решение. Можно случайно вытянуть первые десять черных перчаток с левой (или правой) руки, а потом еще 5 синих перчаток с одной руки, так что никакие две из этих 15 перчаток могут не образовать пары. Но уже шестнадцатая перчатка будет в пару с одной из пятнадцати первых.

Ответ: Не более шестнадцати.

145. Коля поймал за 5 дней 512 мухи. Каждый день он отлавливал столько мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал он за каждый из этих дней?

Решение. За последний день он поймал столько мух, сколько в первые 4 дня, то есть половину всех мух. На четвертый день – половину мух, пойманных за 4 дня. И так далее.

Ответ: На пятый день – 256, на четвертый – 128, на третий – 64, во второй – 32, в первый – 32.

146. Брошены два игральных кубика. Какая сумма очков на их верхних гранях наиболее вероятна?

Решение. Возможны суммы от 2 до 12. В таблице показано, как могут получаться эти суммы:

Как видно, наибольшим числом способов получается сумма 7 – шестью способами. Это и есть наиболее вероятный результат бросания кубиков. Я не советую учителю пускаться в объяснения о том, что такое вероятность. Пусть дети просто услышат это слово в данном конкретном случае.

Ответ: 7.

147. Разгадай ребус:

Решение. Так как Е + Е оканчивается на Е, то Е = 0. Очевидно, что А может равняться только 1. Поэтому В > 4. При том В – число четное, так что В равно 6 или 8. Если В = 6, то имеем:

С – число четное, поэтому С = 8, но тогда получается:

Это невозможно, так как Д подобрать нельзя.

Остается В = 8:

Теперь для С остается выбор: С = 4 или С = 9. Проверка показывает, что подходит только первый вариант. Далее все просто.

Ответ: 8790 + 8790 = 17580.

148. Составь не меньше 10 разных сумм из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в эту сумму два раза.

Решение. Самое маленькое значение такой суммы 3 (это 1 + 2), а самое большое 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, так что задача имеет решение.

Ответ: Это, например, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, 4 + 5, 1 + 4 + 5, 2 + 4 + 5, 3 + 4 + 5.

149. Фразу "ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз" расшифруй кодом Виженера с помощью шифра "вега".

Решение.

ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз
364 136413 6 413 641 36413 6 4136

Ответ: "Чем дальше в лес, тем больше дров".

150. Составь не меньше 10 разных произведений из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в это произведение два раза.

Ответ: 1 х 2, 1 х 3, 1 х 4, 1 х 5, 2 х 5, 3 х 5, 4 х 5, 2 х 4 х 5, 3 х 4 х 5, 2 х 3 х 4 х 5.

151. Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 секунд. Какова длина каждого поезда?

Решение. Если бы первый поезд стоял на месте, то пассажир второго поезда ехал бы мимо него со скоростью 45 км/ч. А так как первый поезд ехал навстречу со скоростью 36 км/ч, то пассажир второго поезда ехал мимо него со скоростью 36+45 = 81 (км/ч). Следовательно, путь длиной в поезд он проделал со скоростью 81 км/ч за 6 секунд, то есть за 1/600 часа. Умножив это время на скорость, мы получим ответ.

Ответ: 135 м.

152. Разгадай ребус:

Решение. Для решения удобно переписать ребус так:

Сразу видно, что С = 1 и что D = 0:

Значит, А = 5:

Теперь все ясно.

Ответ: 10761 – 5610 = 5151.

153. Задача Л. Эйлера. Крестьянка принесла на рынок некоторое число яиц. Первому покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца; второму – половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца; третьему – половину нового остатка и еще пол-яйца; четвертому – половину того, что осталось, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько яиц было у нее вначале?

Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать.
Что было у крестьянки перед встречей с четвертым покупателем? Что-то, половина чего была продана, после чего осталось пол-яйца. Но, значит, пол-яйца были второй половиной того, что у нее было. Значит, перед встречей с четвертым покупателем у крестьянки было одно яйцо. Нарисуем его в виде одной клетки.
Перед встречей с третьим покупателем у нее было это яйцо и те пол-яйца, которые она продала третьему, и все это составляло половину того, что она имела. Значит, пририсуем пол-яйца и удвоим полученное – эти три яйца были у крестьянки перед встречей с третьим покупателем.
Аналогично, пририсовав к трем яйцам пол-яйца и удвоив полученное, будем иметь семь яиц, имевшиеся у нее перед встречей со вторым покупателем.
Проделав еще раз эту операцию, узнаем, сколько было у нее яиц в самом начале.

Ответ: 15 яиц.

Заметим, что полученный ответ следует проверить:
1-му покупателю продано 15 : 2 + 0,5 = 8 яиц, после чего осталось 7 яиц,
2-му покупателю продано 7 : 2 + 0,5 = 4 яйца, после чего осталось 3 яйца,
3-му покупателю продано 3 : 2 + 0,5 = 2 яйца, после чего осталось 1 яйцо,
4-му покупателю продано 1 : 2 + 0,5 = 1 яйцо, после чего не осталось ничего.

154. Алеша, Боря, Витя и Гена сыграли между собой по одной партии в шахматы. Первые три мальчика все партии между собой сыграли вничью. Как распределились между ними места в этом соревновании, если Боря занял более высокое место, чем Витя, но менее высокое, чем Алеша?

Решение. Это задача со специфическим сюжетом – о турнире. Конечно, можно решить ее устно: результаты Алеши, Бори и Вити различны из-за того, что они по-разному сыграли с Геной. Значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сыграл с Геной вничью, а Витя проиграл Гене. После этого уже можно подсчитать, сколько очков набрал каждый и определить их порядок в итоге соревнования. Однако, ясно, что результаты надо как-то записывать. И очень полезно показать, как делается это в спортивных соревнованиях: познакомить детей со способом записи турнира в виде турнирной таблицы. Ддя наших четырех шахматистов турнирная таблица выглядит так:

В течение турнира таблица заполняется. Если, например, Гена выиграл у Бори, то это отмечается в таблице так:

А то, что Алеша с Борей сыграли вничью, отмечается в таблице так:

В предпоследнем столбце записывают, сколько очков набрал каждый. В последнем записывают, какое место занял каждый участник. Запишем условия задачи в нашу таблицу:

Теперь учтем, что Алеша набрал очков больше, чем Боря, а Боря больше, чем Витя. Это произошло потому, что они по-разному сыграли с Геной. Так как существует всего три возможности: выиграть партию, сделать ничью или проиграть, то, значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сделал с ним ничью, а Витя проиграл. Занесем эти данные в таблицу и подсчитаем очки и места:

Ответ: Первое место занял Алеша, второе и третье поделили Боря и Гена, четвертое место занял Витя.

155. Имеется много жетонов стоимостью в 3 рубля и два жетона по 5 рублей. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 рублей?

Решение. Сумму в 8 рублей составляем как 3 + 5, в 9 – как 3 + 3 + 3, в 10 – как 5 + 5. Прибавляя к этим суммам нужное число трехрублевых жетонов, мы получим любую сумму, большую 10. Например, чтобы получить сумму 121, сообразим, что 121 при делении на 3 дает такой же остаток, как 10, а значит, 121 можно получить, прибавив к 5 + 5 нужное число 3-рублевых жетонов. Число этих жетонов определяем так: (121 – 10) : 3 = 37.

Ответ: Да.

156. Разгадай ребус:

Решение. Так как ХА х У = ХА, то У = 1. Так как Х – П = Х, то П = 0. Имеем:

Так как А х А оканчивается на А, причем А не равно 1, то А = 5 или А = 6. Если А = 5, то:

Вариант А = 6 легко опровергается проверкой.

Ответ:

157. Задача Л.Н.Толстого. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать.
Нарисуем два луга, один больше другого вдвое.
Разделим большой луг на две части. Первая часть – это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть – работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.
Меньший луг тоже разделим на две части. Первая часть меньшего луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов. Значит, первая часть меньшего луга равна 1/3 большого луга. 1/3 меньшего луга = 1/6 большого луга.

Вторую часть меньшего луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся артель косила две трети большого луга полдня, то артель состояла из 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

158. Поезд прошел мост длиной в 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?

Решение. Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.

Ответ: 1200 м.

159. Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?

Решение. Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения – на 30 секунд, получим скорость.

Ответ: 25 м/сек.

160. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший 2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гордеев. Известно, что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий.

Решение задачи аналогично решению задачи 154.

161. Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, сли сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?

Решение. За полный оборот большого колеса через точку сцепления пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота – 40 х 32 = = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает
1280 : 16 оборотов.

Ответ: 80 оборотов.

162. Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км?

Решение. Паровоз продвинулся за 2 минуты на 1750 м. Разделив этот путь на время движения, получим скорость.

Ответ: 875 м/мин.

163. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какие числа пропущены?

(385 – ____ + 8) х (____ : 385 + 9).

Решение. В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 385, на во второй скобке – не меньше 385.

Ответ: 385.

164. Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно?

Решение. Это может быть, если разрыв между прибытием трамваев на остановку не одинаков.
Например, представим себе такое расписание

При таком расписании Коля будет чаще попадать на трамвай № 1.

165. Поезд длиной 750 м обгоняет поезд длиной 1 км за 10 мин. Какова скорость короткого поезда, если скорость длинного 60 км/ч?

Решение. За 10 минут произошло следующее. Паровоз короткого поезда проехал мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проехал мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проехал суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов, затем разделить ее на время (на 10 минут), а затем к полученной скорости прибавить скорость второго поезда.

Ответ: 70500 м/ч.

166. У Васи по математике вдвое больше пятерок, чем четверок. Сколько у него четверок и пятерок, если всего их 12?

Ответ: 3 четверки и 6 пятерок.

167. Поезд длиной 750 м проходит мимо такого же встречного поезда за 1 мин. Какова скорость первого поезда, если скорость второго 60 км/час?

Решение. За 1 минуту происходит следующее. Паровоз короткого поезда проезжает мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проезжает мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проезжает суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной сумме скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин).

Ответ: 500 м/мин.

168. На острове живут правдивые люди и лжецы. Как одним вопросом у первого встреченного островитянина узнать, ведет ли данная дорога в город?

Ответ: Вопрос: "Что бы Вы мне ответили, если бы я спросил Вас, ведет ли эта дорога в город?"

169. В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял 1-е место, Бунин занял 2-е место, Воронов и Гусев разделили 3-4-е места, Дымов занял 5-е место, а Егоров, занявший 6-е места, выиграл у Гусева. 5 партий турнира закончились вничью, причем Бунин сделал только одну ничью. Восстановить результаты всех партий.

Решение задачи аналогично решению задач 154 и 160, но еще более сложно.

170. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа:

1) Андрей – первое, Борис – второе,
2) Андрей – второе, Геннадий – третье,
3) Вадим – второе, Геннадий – четвертое.

В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?

Решение. Приходится анализировать варианты. Это можно делать по-разному. Можно выяснить, возможно ли, чтобы в первом ответе первая часть была правдой, а вторая ложью и так далее. Однако удобнее проверить, возможно ли, чтобы тот или иной мальчик занял то или иное место. Чаще всего в ответах упоминаются Андрей и Геннадий. С любого из них и нужно начать. Начнем, например, с Андрея. Именно рассмотрим, мог ли Андрей занять первое место, мог ли второе, мог ли третье, мог ли четвертое.
Пусть Андрей занял первое место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, то есть Борис – не второй (но и не первый, так как первый – Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть – неправда, так как Андрей – не второй, а первый. Значит, во втором ответе вторая часть – правда, откуда получается, что Геннадий – третий. Поэтому Борис – не третий, а четвертый, и мы получаем такое распределение:
Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый. Осталось с этой точки зрения просмотреть третий ответ. "Вадим – второй" – правда, "Геннадий – четвертый" – неправда. Все сходится.
Но, быть может, Андрей мог быть и вторым? Нет, так как тогда первый ответ был бы полностью ложным.
Не мог быть Андрей и третьим, так как тогда полностью ложен второй ответ.
Не мог быть Андрей и четвертым, что доказать несколько труднее – нужно сопоставлять разные ответы. Из первого следует, что Борис – второй, из второго – что Геннадий – третий, но тогда полностью лжив третий ответ.

Ответ: Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый.

171. Какой цифрой оканчивается выражение

23 х 24 х 25 + 321321 : 13?

Решение. Первое слагаемое оканчивается нулем, а второе семеркой.

Ответ: 7.

172. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным.

Решение. Общее число рукопожатий, сделанных всеми людьми, четно. И если бы сделавших нечетное число рукопожатий было нечетно, то это правило было бы нарушено. Полезно пригласить к доске трех человек и попросить их несколько раз пожать друг другу руки. Выясняется, что при каждом рукопожатии число рукопожатий, сделанных каждым, увеличивается на 2, так что оно всегда четно.

173. В краже дырки от бублика подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали:

А: Это сделал Б.

Б: Это сделал Г.

В: Это сделал не я.

Г: Б лжет, что это сделал я.

Правду сказал только один из них. Кто совершил кражу?

Решение. Нужно несколько упростить заявление Г и составить таблицу их заявлений:

А теперь посмотрим, сколько ответов окажутся правдивыми и сколько ложными в каждом из возможных случаев.
Случай первый. Кражу совершил А. Тогда заявления А и Б ложны, а заявления В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай второй. Кражу совершил Б. Тогда заявления А, В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай третий. Кражу совершил В. Тогда заявления А, Б и В ложны, а заявление Г правдиво, что согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай четвертый. Кражу совершил Г. Тогда заявления А и Г ложны, а заявления Б и В правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".

Ответ: Кражу совершил В.

175. Пусть запись а г b обозначает наименьшее из чисел a + b и 2b. Решите уравнение х г 3 = 5 г х.

Решение. Эту задачу нужно дать непосредственно за предыдущей тем детям, которые предыдущей задачей заинтересовались. Запись х г 3 обозначает то же, что и запись х Е 3 в предыдущей задаче. Поэтому и решение и ответ в этой задаче те же.

Ответ: х = 5.