Ольга ТАРАКАНОВА

Решение задач на дроби

Статья посвящена решению задач с дробями. Примеры иллюстрируются задачами из учебника: Петерсон Л.Г. "Математика", 3 класс (1-3), часть 2,3, что соответствует 4 классу (1–4). Основное внимание уделяется поиску решения задачи, который проводится либо в виде диалога учителя с учениками, либо в виде самостоятельного рассуждения ученика. Большое внимание уделяется грамотному оформлению решения задачи.

I. Этап мотивации изучения дробей

Первые задачи, которые рассматривает учитель при введении темы, – это исторические задачи, цель которых – заинтересовать учеников изучением нового материала. Полезно рассмотреть две или три задачи, а потом вернуться к ним, когда материал о дробях будет уже как следует изучен.

Задача 1

В произведении знаменитого римского поэта I в. до н.э. Горация так описана беседа учителя с учеником в одной из римских школ этой эпохи.

Учитель: Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от 5 унций отнять одну унцию?

Ученик: Одна треть.

Учитель: Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.

Пользуясь схемой, докажи, что ученик был прав. (Ч. 1, № 1, с. 64)*.

Поиск решения. Моделируем ситуацию с помощью отрезков. Давайте одну унцию обозначим отрезком. Тогда 5 унций – отрезок, состоящий из 5 данных отрезков. Отнимем одну унцию, сколько унций останется? [4 унции.] А что ответил ученик на вопрос: "Сколько останется, если от 5 унций отнять одну?" [Одна треть.] Если одну треть составляет 4 унции, сколько унций составляет все имущество? [В 3 раза больше, чем 4 унции, – значит, 12 унций.]

Схема.

Решение. 1) 5 – 1 = 4 (унц.) – осталось. 2) 4 х 3 = 12 (унц.) – все имущество.

Ответ: 12 унций.

Задача 2

Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика IX в. Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми. "Найди число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10". (Ч. 2, № 2, с. 64).

Поиск решения. Обозначим число отрезком, длина которого делится на 3 и на 4, это может быть 12, или 24, или 36 и т.д. Возьмем наименьшее из них – 12, нарисуем 12 равных отрезков или мерок. Найдем одну треть отрезка. [12 : 3 = 4 (ч.).] Найдем одну четверть отрезка. [12 : 4 = 3 (ч.).] Сколько частей вычли? [4 + 3 = 7 (ч.).] Сколько частей осталось? [12 – 7 = 5 (ч.).] 10 приходится на сколько частей? [На 5.] Сколько приходится на одну часть? [10 : 5 = 2.] Число 2 приходится на одну часть, а сколько всего частей? [12.] Как найти число? [2 х 12 = 24.]

Решение.

1) 12 : 3 = 4 (ч.) – треть числа.
2)12 : 4 = 3 (ч.) – четверть числа.
3) 3 + 4 = 7 (ч.) – вычли.
4)12 – 7 = 5 (ч.) – осталось.
5) 10 : 5 = 2 – приходится на одну часть.
6) 2 х 12 = 24 – число.

Ответ: Это число 24.

Задача 3

Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г. до н.э.).

"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

– Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

– Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"

Используя схему, найди, сколько быков было во всем стаде? (Ч. 2, № 3, с. 64)

Поиск решения.

Обозначим отрезком все стадо. Какой должна быть длина отрезка, чтобы легко делилась на части? [Длина должна быть кратна 9.] Обозначим число быков отрезком, состоящим из 9 частей. Как найти треть от 9? [9 разделить на 3, получится 3 части.] Покажем это на отрезке. Найдем две трети от 3. Нужно 3 разделить на 3, получится 1 часть, и взять две таких части. Сколько быков приходится на 2 части? [70 быков.] Сколько быков приходится на одну часть? [70 разделить на 2, получится 35 быков.] Если 35 быков в одной части, сколько быков в 9 частях? [35 х 9 = 315.] Сколько быков в стаде? [315 быков.]

Схема.

Решение.

1) 9 : 3 = 3 (ч.) – треть стада.
2) 3 : 3 х 2 = 2 (ч.) – две трети от трети.
3) 70 : 2 = 35 (б.) – в I части.
4) 35 х 9 = 315 (б.) – в стаде.

Ответ: 315 быков.

Задача 4

Староиндийская задача (XI в.).

Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на кутай посади.
Только две не нашли
Себе места нигде,
Все летали то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждались.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

(Ч. 2, № 4, с. 64).

Поиск решения.

Обозначим число пчел отрезком. Сколько мерок полезно взять в отрезке? [Число мерок должно делиться на 5, на 3, т.е. на 15. Отрезок будет состоять из 15 мерок.] Сколько мерок отрезка составляет пятая часть? [15 разделим на 5, получится 3 мерки.] Сколько мерок составляет третья часть отрезка? [15 разделить на 3 получится 5 мерок.] Чему равна разность между третьей и пятой частями? [Из 5 мерок вычтем 3 мерки, получится 2 мерки.] Три раза отложим по 2 мерки, сколько мерок мы отложили? [2 умножим на 3, получится 6 мерок.] Сколько мерок останется? [15 – 3 – 5 – 6 = 1, одна мерка.] Сколько пчел приходится на одну мерку? [Две.] Как найти все количество пчел? [2 умножить на 15, получится 30. Всего собралось 30 пчел.]

Схема.

Решение.

1) 15 : 5 = 3 (м.) – пятая часть.
2) 15 : 3 = 5 (м.) – третья часть.
3) 5 – 3 = 2 (м.) – разность.
4) 2 х 3 = 6 (м.) – кутай.
5) 15 – 3 – 5 – 6 = 1 (м.) – осталось.
6) 2 х 15 = 30 (пч.) – собралось.

Ответ: 30 пчел.

II. Этап решения задач на доли

Рассмотрим поиск решения, оформление решения простых задач на доли. При составлении схем к первым задачам полезно дроби писать над выделенной частью (схема, 1). В дальнейшем схема будет меняться. Изменения показаны на схеме (3). Сначала меняется место записи дроби и выделяется целая часть в виде единицы (схема, 2). Сами части на отрезке сначала выделяются, затем нет (схема, 3). Если ребенку трудно решить задачу без деления отрезка на части, он может продолжать их выделять.

Задача на нахождение части числа

Яблоко весит 400 г. Сколько весит часть этого яблока. (Ч. 2, № 10, с. 68.).

Схема.

Рассуждение ученика. Обозначим массу яблока отрезком, в котором 5 мерок. Чтобы найти массу одной пятой части, нужно 400 разделить на 5, получится 80. 80 граммов весит часть яблока.

Решение. 400 : 5 = 80 (г).

Ответ: 80 граммов.

Задача на нахождение числа по его части

Сколько стоит книга, если часть ее цены составляет 30 рублей? (Ч. 2, № 2, с. 75).

Схема.

Рассуждения ученика. Известно, что часть цены книги составляет 30 рублей. Чтобы найти цену книги, надо 30 умножить на 6, получится 180. 180 рублей цена книги.

Решение. 30 х 6 = 180 (р.).

Ответ: 180 рублей.

Составная задача с долями

Сделав 16 деталей, рабочий выполнил часть задания. Сколько деталей ему осталось сделать? (Ч. 2, № 5, с. 75).

Схема.

Рассуждения ученика. Одна четвертая часть задания составляет 16 деталей. Чтобы найти объем всего задания, нужно 16 умножить на 4, получится 64. 64 детали составляет все задание. 16 деталей сделано. Чтобы найти, сколько деталей осталось сделать, нужно из 64 вычесть 16, получится 48. 48 деталей осталось сделать.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 16 х 4 = 64 (д.) – все задание.
2) 64 – 16 = 48 (д.) – осталось сделать.

Или выражением:

16 х 4 – 16 = 48 (д.).

Ответ: 48 деталей.

Задачи на проценты

Задачи на проценты являются частным случаем задач на доли.

Задача на нахождение части числа

Папа получил премию 8000 рублей. 1% премии он потратил на покупку торта. Сколько стоил торт? (Ч. 2, № 8, с. 73).

Схема.

Рассуждения ученика. 1% – это одна сотая часть числа. Чтобы найти одну сотую часть от числа 8000, надо 8000 разделить на 100, получится 80. 80 рублей потратил папа на торт.

Решение. 8000 : 100 = 80 (р.).

Ответ: 80 рублей.

Задача на нахождение числа по его части

Сколько человек было в кинотеатре, если 1% всех зрителей составляет 7 человек? (Ч.2, № 3, с.75).

Схема.

Рассуждения ученика. Целое составляет 100%, его нужно найти. 1% – это одна сотая часть от целого. Одну сотую часть составляет 7 человек, значит, чтобы найти целое, нужно 7 умножить на 100, получится 700. 700 человек было в кинотеатре.

Решение. 7 х 100 = 700 (чел.).

Ответ: 700 человек.

III. Этап решения задач на правильные дроби

Задача на нахождение части числа

Урок длится 45 минут. части урока ученики писали самостоятельную работу. Сколько времени она длилась?

Схема.

Рассуждение ученика.

Найдем сначала часть от 45, для этого 45 разделим на 5, получится 9. Дальше найдем части, для этого 9 умножим на 3, получим 27. 27 минут ученики писали самостоятельную работу.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 45 : 5 = 9 (мин) – приходится на .
2) 9 х 3 = 27 (мин) – приходится на .
Или выражением: 45 : 5 х 3 = 27 (мин).

Ответ: 27 минут.

Задача на нахождение части числа, выраженной в процентах

На строительство доставили 24 000 кирпичей. Бой составляет 3% всех кирпичей. Сколько кирпичей разбилось по дороге? (Ч. 2, № 5, с. 85).

Схема.

Рассуждения ученика.

24 000 кирпича составляет 100%, 3% – это . Чтобы найти части от числа 24 000, нужно 24 разделить на 100 и умножить на 3, получится 720. 720 кирпичей разбилось.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 24000 : 100 = 240 (к.) – приходится на 1%.
2) 240 х 3 = 720 (к.) – приходится на 3%.
Или выражением:
24000 : 100 х 3=720 (к.).

Ответ: 720 кирпичей.

Задача на нахождение числа по его части

В аквариум налили 6 л воды, заполнив части его объема. Сколько литров воды вмещает аквариум? (Ч.2, № 5, с. 90).

Схема.

Рассуждения ученика.

Известно, что части объема аквариума составляет 6 л, следовательно, часть составляет в 2 раза меньше, т.е. 6, деленное на 2. Таким образом, часть составляет 3 л. А объем аквариума в 5 раз больше, т.е. 3, умноженное на 5. 15 л вмещает аквариум.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 6 : 2 = 3 (л) – пятая часть.
2) 3 х 5 = 15 (л) – аквариум.
Или выражением:
6 : 2 х 5 = 15 (л).

Ответ: 15 литров.

Задача на нахождение числа по его части, выраженной в процентах

Бурый медведь весит 320 кг, что составляет 40% массы белого медведя. Какова масса белого медведя? (Ч.2, № 5, с. 88).

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 320 кг составляют 40%. Чтобы узнать, сколько килограммов приходится на 1%, нужно 320 разделить на 40, получится 8. Чтобы узнать, сколько килограммов приходится на 100%, нужно 8 умножить на 100, получится 800. 800 кг – масса белого медведя.

Вариант 2. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо разделить эту часть на числитель и умножить на знаменатель. 40% – это , значит, нужно 320 разделить на 40 и умножить на 100, получится 800. 800 кг – масса белого медведя.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 320 : 40 = 8 (кг) – приходится на 1%.
2) 8 х 100 = 800 (кг) – приходится на 100%.
Или выражением:
320 : 40 х 100 = 800 (кг).

Ответ: 800 кг.

Задача на нахождение части, которую одно число составляет от другого

От доски длиной 9 м отпилили 4 м. Какую часть доски отпилили? (Ч.3, № 1, с.4).

Схема.

Рассуждения ученика.

Чтобы выразить дробью часть, которую одно число составляет от другого, надо первое число разделить на второе. Аналогично, чтобы выразить, какую часть отпилили от доски, нужно 4 разделить на 9, так как 4 – часть, которую отпилили, а 9 – это целое.

Решение. 4 : 9 = (ч.).

Ответ: части.

IV. Этап решения задач на неправильные дроби

Задачи на нахождение части числа

1. На стройке Дома дружбы Чебурашка должен был за день положить 620 кирпичей, но ему удалось положить части этого числа. На сколько Чебурашка перевыполнил задание?

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 620 кирпичей приходится на 5 равных частей. Чтобы узнать, сколько кирпичей приходится на 1 часть, нужно 620 разделить на 5, получится 124. Чтобы узнать, сколько кирпичей приходится на 6 таких частей, нужно 124 умножить на 6, получится 744. 744 кирпича приходится на . Чтобы узнать, на сколько Чебурашка перевыполнил план, нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича Чебурашка перевыполнил задание.

Вариант 2. Чтобы найти от 620, нужно 620 разделить на 5 и умножить на 6, получится 744. Чтобы найти, на сколько Чебурашка перевыполнил план, нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича Чебурашка перевыполнил задание.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 620 : 5 = 124 (к.) – приходится на одну часть.
2) 124 х 6= 744 (к.) – выполнил.
3) 744 – 620 = 124 (к.) – перевыполнил.
Или выражением:
620 : 5 х 6 – 620 = 124 (к.).

Ответ: на 124 кирпича.

2. Буратино решил купить для папы Карло новый дом за 300 сольдо. Но пока он копил деньги, цена дома увеличилась на 20%. Сколько теперь должен заплатить Буратино за этот дом? Сколько денег надо ему дополнительно заработать? (Ч.3, № 3, с. 20).

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 300 сольдо приходится на 100%, значит, на 1% приходится 300, деленное на 100, т.е. 3. Новая цена дома от старой составляет 120% – это 100 + 20. Чтобы узнать, сколько сольдо приходится на 120%, нужно 3 умножить на 120, получится 360. 360 сольдо стоит дом. Чтобы узнать, сколько дополнительно заработать, нужно из 360 вычесть 300, получится 60. 60 сольдо нужно Буратино дополнительно заработать.

Вариант 2. Чтобы найти 20% от 300, нужно 300 разделить на 100 и умножить на 20, получится 60. 60 сольдо нужно дополнительно заработать Буратино. Теперь дом будет стоить 300 плюс 60, т.е. 360 сольдо.

Решение.

Способ 1.

1) 300 : 100 = 3 (с.) – приходится на 1%.
2) 100 + 120 = 120 % – стоит дом от старой цены.
3) 3 х 120 = 360 (с.) – новая цена дома.
4) 360 – 300 = 60 (с.) – нужно заработать.

Способ 2.

1) 300 : 100 х 20 = 60 (с.) – надо заработать.
2) 300 + 60 = 360 (с.) – новая цена дома.

Ответ: 60 сольдо.

Задача на нахождение числа по его части.

Почтальону Печкину пришло на почту в марте 48 писем. Это составило части писем, пришедших на почту в феврале. Сколько писем пришло в феврале? Сколько писем пришло за эти 2 месяца? (Ч.3, №4, с. 20).

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 48 писем приходится на , т.е на 8 равных частей. Сначала узнаем, сколько писем приходится на одну часть, для этого 48 разделим на 8, получится 6. Дальше найдем, сколько писем приходится на 7 таких же частей. Для этого 6 умножим на 7, получится 42. Чтобы найти количество писем за 2 месяца, нужно сложить 48 и 42, получится 90. 90 писем пришло за 2 месяца.

Вариант 2. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо эту часть разделить на числитель дроби и умножить на знаменатель. Чтобы найти число, зная, что на приходится 48, нужно 48 разделить на 8 и умножить на 7, получится 42. Чтобы найти, сколько писем пришло за 2 месяца, надо сложить 48 и 42, получится 90. 90 писем пришло за 2 месяца.

Решение.

По действиям с пояснениями:

Способ 1.

1) 48 : 8 = 6 (п.) – приходится на 1 часть.
2) 6 х 7 = 42 (п.) – пришло в феврале.
3) 48 + 42 = 90 (п.) – пришло за 2 месяца.

Способ 2.

1) 48 : 8 х 7 = 42 (п.) – пришло в феврале.
2) 48 + 42 = 90 (п.) – пришло за 2 месяца.

Ответ: 42 письма и 90 писем.

Задача на нахождение части, которую одно число составляет от другого

Мачеха, уходя с дочерьми на бал, велела Золушке перебрать 100 кг крупы. Золушка, чтобы угодить мачехе, перебрала 150 кг. Какую часть своего задания выполнила Золушка? Вырази эту часть в процентах. На сколько процентов Золушка перевыполнила задание? (Ч. 3, № 7, с. 21).

Схема.

Рассуждения ученика.

Чтобы найти, какую часть задания Золушка выполнила, нужно ту часть, которую она выполнила, т.е. 150, разделить на само задание, т.е. на 100, получится , или 150%. Так как все задание составля-ет 100%, то она перевыполнила его на 150 – 100 = 50. На 50% Золушка перевыполнила задание.

Решение.

1) 150 : 100 = (ч.) – выполнила.
2) =150%, 150 – 100 = 50% – перевыполнила.

Ответ: части, 150%, 50%.

Надеемся, что рассмотренный материал окажется полезным не только учителям, работающим по авторской методике Л.Г. Петерсон, но и всем, кто интересуется вопросами преподавания математики в начальной школе.

* Здесь и далее по тексту ссылка на учебник Петерсон Л.Г. "Математика", 3 класс.