Генриэтта МИКУЛИНА,
г. Москва

Не попадись в "ловушку"!

Освоение арифметического действия обычно начинается с постановки некоторой предметно представленной задачи, в которой требуется ответить на вопрос "сколько?". На этот вопрос дети отвечали и до школы, используя простой пересчет объектов. Какое удобство дает арифметическое действие? Каков его практический смысл? Арифметическое действие – это действие с числами (а не с предметами). Оно позволяет найти ответ на вопрос с"колько?", не перебирая совокупности, а оперируя лишь с числами, то есть даже в такой ситуации, в которой пересчет "вручную" невозможен. К сожалению, эту специфику арифметического действия в обучении чаще всего "смазывают", и оно вводится лишь как знаковое описание, знаковое замещение предметных манипуляций. Учащиеся не осознают, что познакомились с особым и более эффективным средством работы. Такое положение дела имеет место как при введении сложения-вычитания, так и при введении умножения-деления. Особенно показательна в этом отношении методика введения умножения, как она была представлена в учебнике для 2-го класса. На рисунке изображены 3 мотоцикла, на каждом из которых по 2 мотоциклиста. Понятно, что нужно определить общее число мотоциклистов. Однако учитель не ставит этот вопрос, а спрашивает, сколько на рисунке мотоциклов, сколько на каждом из них мотоциклистов и, наконец, как узнать, сколько мотоциклистов всего. На данном этапе обучения математике ученики обычно знают, что на такой вопрос они должны отвечать называнием некоторого арифметического действия. Они сообщают, что нужно выполнить сложение: 2 + 2 + 2. На самом деле ученики уже давно определили число мотоциклистов, охватив их группу взором. Но они уже привыкли сообщать не как делали на самом деле, а "как положено". Далее учитель обращает внимание детей на равенство слагаемых и показывает новую запись – умножение. Теперь дети должны будут заменять записи сложения записями умножения, то есть осваивать не новый способ вычислений, а новую форму записи.

Рассмотрим, как можно построить подготовительные к введению умножения упражнения, смысловое содержание которых заключается в следующем. Учащихся нужно познакомить с предметными ситуациями, в которых целое составляется из равных частей или разбивается на равные части. В таких ситуациях оказывается возможным выбор (в дальнейшем) как действия умножения, так и действия деления – целесообразно с самого начала, еще на предметном уровне работы, заложить основы понимания единства этих действий. Важно продемонстрировать, что в новых условиях сокращаются предметные счетные операции. Так, если известно, что части равны, то для определения значения целого не нужно пересчитывать по одному все объекты, а достаточно узнать их количество в одной части и затем действовать не "вручную", а мысленно оперируя с числами.

Для анализа и осознания особенностей новой предметной ситуации полезно использовать схему, форма которой учащимся знакома по работе над усвоением состава чисел. Элементы схемы могут быть названы как "целое" (или "общее количество", "общее число") и его "части" (которые могут оказаться равными и неравными).

Приведем возможные задания (с печатной основой) для учащихся и методические рекомендации для учителя по организации вводного в умножение раздела программы. В упражнения встроены "ловушки" – задания, которые нельзя выполнить имеющимися средствами или при заданных условиях. Поиск "ловушки" обычно стимулирует активность детей, но важно, что с помощью такого рода заданий они учатся контролировать полноту условий.

Упражнение 1. Дополни схемы и предложения. – не попадись в "ловушку"!

Упражнение 2. Дополни схемы. Составь предложения по каждому рисунку.

На каждой полке по ___ стаканов.

На каждой полке по ___ кружек.

Что было удобнее считать? Почему?

Упражнение 3. Дополни схемы.

Привезли яблоки в одинаковых коробках, а груши – в разных.

Упражнение 4. Дополни схемы. Не попадись в "ловушку".

В столовой получили молоко в одинаковых бидонах, а кисель – в разных. Молока в одном бидоне оказалось 10 л, а киселя – 3 л. Сколько литров молока и сколько литров киселя получили в столовой?

Молоко

Кисель

Упражнение 5. Определи, сколько получится одинаковых упаковок карандашей; ластиков. Дополни схемы.

Упражнение 6. Найди правильную запись решения задачи.

В ларьке было 35 кг яблок. Туда привезли еще 2 ящика по 10 кг в каждом. Сколько килограммов яблок стало в ларьке?

35 + 2
35 + 10
35 + (10 + 10)

Упражнение 7. Дополни схемы.

Привезли сахарный песок в одинаковых мешках, а конфеты – в одинаковых коробках. Чего привезли больше?

Упражнение 8. Реши с помощью счетного материала. Дополни схемы.

1. Каждому кролику давали по 3 морковки. Сколько морковок нужно приготовить для четырех кроликов?

2. Скольким кроликам хватит этих морковок, если каждому давать по 4 морковки; по 5?

3. Сколько понадобится тарелок, чтобы разложить 20 яблок по 5 штук на каждую тарелку; по 6 штук; по 4 штуки?

Упражнение 9. Мысленно дели счетный материал на равные части и дополняй схемы.

Упражнение 10. Отметь или составь запись решения задачи.

У хозяйки было 8 кг картофеля. Она купила еще 3 пакета картофеля по 4 кг в каждом. Сколько килограммов картофеля у хозяйки теперь?

8 + 3
8 + 4
8 + 3 + 4

Упражнение 11. Прибавляй или вычитай равные части.

15 = 5 + ...24 – 6 – ... 30 – 8 – ...
15 = 4 + ... 24 – 7 – ... 30 – 10 – ...
15 = 6 + ... 24 – 4 – ... 30 – 6 – ...

Упражнение 12. Запиши решение задачи.

Нина подарила трем первоклассникам переводные картинки, каждому по 7 картинок. Сколько всего картинок подарила этим детям Нина?

Упражнение 13. Реши с помощью счетного материала. Дополни схемы.

В одной коробке 4 кубика. Сколько кубиков в 3 таких коробках?

18 кубиков нужно разложить в коробки по 6 кубиков в каждую. Сколько понадобится коробок?

Упражнение 14. По рисунку дополни схему и тексты задач. Сравни задачи.

1. Хозяйка разложила ___ пирожных на ___ тарелки поровну. По сколько пирожных она положила на каждую тарелку?

2. На столы поставили ___ тарелки по ___ пирожных на каждой. Сколько всего пирожных на этих столах?

Упражнение 15. Составь задачи по рисункам. мука

Упражнение 16. Прибавь или вычти 3 раза по 6.

18 + _____ 24 – _____ 21 + _____

18 – _____ 24 + _____ 21 – _____

Упражнение 17. Определи с помощью счетного материала, можно ли разложить
16 груш поровну в два пакета; в 3 пакета;
в 4 пакета.

Упражнение 18. Определи с помощью счетного материала, можно ли разложить 15 карандашей поровну в 3 коробки; в 4 коробки; в 5 коробок? Дополни схемы.

Упражнение 19. Звездочки можно сосчитать по одной, а можно по частям. Как? Запиши решение.

Упражнение 20. Запиши, как узнать недостающее число с помощью калькулятора.

Упражнение 21. Впиши числа из схемы в текст задачи. Запиши два способа вычисления ответа на калькуляторе.

В одной коробке [...] конфет. Купили [...] такие коробки. Сколько всего в них конфет?

Упражнение 22. Определи два способа вычисления неизвестного числа на калькуляторе.

Упражнение 23. Вычисли сумму, проверь ответ умножением (на калькуляторе).

14 + 14 + 14
6 + 6 + 6 + 6
15 + 13 + 18
28 + 28

Упражнение 24. Определи, можно ли решить задачу умножением. Составь к ее условию схему.

1. В одной упаковке 12 ложек. Для столовой купили 5 таких упаковок. Сколько всего ложек купили для столовой?

2. Купили 4 одинаковые упаковки вилок. Всего в них было 56 вилок. Сколько вилок было в каждой упаковке?

Упражнение 25. Вычисли на калькуляторе двумя способами.

Упражнение 26. Выполни сложение устно. Проверь ответ умножением на калькуляторе.

25 + 25 + 25 + 25
32 + 32 + 32
20 + 21 + 30
8 + 8 + 8 + 8

Упражнение 27. Найди во втором столбике ответы для первого столбика заданий.

Методические пояснения

Упражнение 1. Нужно пересчитать объекты и сделать записи в схеме. Предлагается начать работу с яблок. Определяется и вписывается в схему число яблок на каждой из трех тарелок. Выясняется, что общее число яблок (целое) можно тоже пересчитать по одному, но можно его найти, сложив записанные числа. Предлагается одному их учеников за партой выполнить работу одним способом, а другому – другим. Но какой из этих способов подходит для малышей, а какой – для школьников? Выясняется, что школьники умеют складывать числа, а малыши только пересчитывать.
Рассматривается рисунок с яйцами. Они тоже представлены тремя частями. Но в них есть некоторая особенность в отличие от яблок. Кто-то из детей заметит, что яиц в коробках поровну. Оказывается, что в этих условиях можно заполнить все клетки схемы, пересчитав яйца только в одной коробке. Предлагается дополнить предложения. Где-то спрятана "ловушка", то есть что-то, что выполнить невозможно, нужно не попасться в нее. При дополнении предложений левого столбика все оказывается верным. Учитель обращает внимание детей на новый "краткий" речевой оборот "в каждой по...". Далее, при составлении предложений о яблоках, подчеркивается невозможность использования такого оборота (это и есть "ловушка").

Упражнение 2. Рассматриваются рисунки, обсуждается, в каком случае удобнее вести подсчеты и почему. Выясняется, что при подсчете кружек достаточно сосчитать, сколько их на одной полке, а стаканы нужно пересчитывать на каждой полке. Схемы дополняются недостающими "окошками" для записи значения частей. Относительно обоих рисунков опробуются "длинная" и "краткая" формы их словесного описания. Во втором случае подходят обе, а в первом – только "длинная".
Далее организуются реальные предметные ситуации, позволяющие учащимся убедиться в удобстве решения вычислительных задач, когда объекты представлены равными частями в одинаковых упаковках. Например, учитель показывает 4 конверта и сообщает, что в них находятся открытки, в каждом поровну. Нужно определить общее количество открыток. Выясняется, что для этого нет необходимости открывать каждый конверт, достаточно пересчитать открытки только в одном конверте.
Далее кто-то из учеников определяет содержание одного конверта, а остальные "догадываются" об общем числе открыток, сложив число 4 раза. Такого же рода работа проводится относительно каких-либо овощей и фруктов, помещенных в пакеты, и относительно кубиков, положенных в коробки.

Упражнения 3, 4. Учитель поясняет рисунок: привезли яблоки в одинаковых ящиках, а груши – в разных. Продавец взвесил по одному ящику яблок и груш. Сколько привезли килограммов яблок и сколько килограммов груш? Специально уточняется, что слова "одинаковые ящики", "одинаковые бидоны" обычно означают не их цвет или форму, а вместимость. Дети предупреждаются о прячущейся где-то "ловушке". Обнаруживается, что знание значения одной части достаточно для заполнения одной схемы и недостаточно для заполнения другой.
По окончании работы с рисунками учащимся предлагается перечислить известные им виды упаковок. Дети называют ящики, банки, мешки, пачки и т.п. Они также сообщают, что именно в них хранится, перевозится или продается. Учитель подсказывает вместимость упаковок, выражая ее в штуках, литрах, килограммах.

Упражнение 5. Учащимся предлагается самим "произвести упаковку" изображенных на рисунке карандашей и ластиков. Они дважды и по-разному делят заданные совокупности, объединяя в них равные части, и дополняют схемы.
Каждую схему нужно описать словесно, например: "15 карандашей поместили (разложили) в 3 коробки по 5 карандашей в каждой". Главным является использование речевых оборотов "по... в каждой..."

Упражнение 6. Дается задача вида 35 + (10 ґ 2), которая на данном этапе обучения решается только сложением. Сообщается, что три ученика (или три персонажа) решили задачу каждый по-своему. Учитель от имени авторов решений пытается "обосновать" правильность двух первых записей и "возражает" против третьей: "Число 10 в задаче записано только один раз, а в решении – два раза". Дети находят и объясняют правильную запись.

Упражнение 7. Читается текст. Учащиеся рассказывают, как они понимают слова "одинаковые мешки", "одинаковые коробки". Рассматривается рисунок. Обнаруживается, что хотя "этикетка" сохранилась только на одном мешке и на одной коробке, это не помешает работе. Но сначала предлагается описать рисунки словесно. Поощряется использование оборотов "4 мешка по 30 кг", "3 коробки по 25 кг". Дополняются схемы, определяется (сложением) общая масса сахарного песка и масса конфет.

Упражнение 8. Вводится относительно новая предметная ситуация. Здесь идет речь не о стандартных упаковках, удобных для хранения или продажи товаров, а о равных "порциях", о равном распределении ("чтобы всем досталось поровну"). Важно решить эти задачи не мысленно, а выполняя реальное действие с помощью счетного материала, но можно нарисовать соответствующее число кружков или палочек. При дополнении схем отмечается, в каком случае неизвестно целое, а в каком – количество частей в нем. Дважды обнаруживается часть, не равная остальным. Она, конечно, вписывается в схему (это момент пропедевтики деления с остатком).

Упражнение 9. Схемой заданы целое и значение части. Нужно определить, сколько таких частей содержится в целом. Учащимся предлагается представить себе действия со счетным материалом. Одну часть уже выделили, есть ли еще одна такая, а еще?.. Производится мысленный отсчет объектов. "Ловушками" являются случаи деления с остатком (который тоже вписывается в схему).

Упражнение 10. Работая с текстом задачи, дети учатся понимать новый речевой оборот. Каждое заданное решение учитель поясняет "мнением выполнившего это решение ученика". Из всех решений наиболее привлекательным ему кажется третье. "Этот ученик не забыл ни одного числа, которые имеются в условии"! Однако придется составить новую запись: 8 + (4 + 4 + 4).

Упражнение 11. Требуется дополнить записи равными слагаемыми или вычитаемыми: 15 = 5 + 5 + 5, 24 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0. "Ловушки" – это случаи, в которых одна из частей оказывается не равной остальным. После выполнения каждого задания учитель ставит вопрос вида: "Сколько раз по 4 содержится в числе 15?" Отвечая на него, учащиеся осваивают необходимую лексику: "В числе 15 число 4 содержится 3 раза и еще остается 3".

Упражнение 12. Решение задачи должно иметь вид 7 + 7 + 7. Однако учитель просит объяснить, чем плоха запись 3 + 7: "Ведь в тексте задачи сообщаются именно эти два числа".

Упражнение 13. После чтения первой задачи следует уточнить смысл слов "такие же": речь идет о коробках, одинаковых по вместимости. Выясняется, какое из двух заданных чисел нужно вписать в кружок, какое – часть этого целого. Мнения учащихся проверяются моделированием ситуации на счетном материале. После того как все числа будут вписаны в схему, предлагается пометить вопросительным знаком тот элемент ее, о котором ставился вопрос в задаче (целое). Аналогичным образом решается вторая задача. Подчеркивается, что в ней, в отличие от первой задачи, неизвестно количество равных частей. Как это пометить на схеме? Можно ли поставить вопросительный знак в кружке? Нет, так как целое было известно. Так же известно было и значение каждой части. Вопросительными знаками можно пометить лучи, отходящие от кружка, мы ведь не знали, сколько таких лучей нужно провести – сколько получится равных частей.

Упражнение 14. Сначала числа вписываются в схему, затем – в текст задачи. В схеме помечаются знаком вопроса в первом случае – каждая часть, во втором – целое. Выясняется, что для решения обеих задач не нужно выполнять никаких арифметических действий, а определить ответ можно простым пересчетом объектов на рисунке.

Упражнение 15. При составлении задач по рисункам учащиеся должны поставить вопрос о трех разных элементах ситуации умножения: о значении части, о значении целого и о количестве равных частей. Кроме того, важно, чтобы учащиеся поупражнялись в понимании и использовании новых речевых оборотов. Ответ к задачам дети находят "догадкой", не называя никакого арифметического действия.

Упражнение 16. Выполняя задание, дети учатся понимать и использовать речевой оборот "три раза по...".

Упражнения 17, 18. Выполняются обязательно с использованием счетного материала. Дети попробуют выполнить первое разбиение на глаз, а потом так или иначе выравняют части. Учитель показывает способ разложения объектов по одному: если нужно разложить фигуры на 3 части, берем из 16 фигур 3 и выкладываем их отдельно, по одной; затем берем следующие 3 фигуры, выкладываем их и т.д. Результаты практических действий фиксируются в схемах. Вторую схему придется дополнить еще одной частью – остатком.

Упражнение 19. Вводится новый вид ситуаций, которые в дальнейшем будут решаться с помощью умножения. Выясняется, что, конечно, можно пересчитать все звездочки по одной. Но так действовать могут и первоклассники. Взрослые люди обычно стараются поменьше пересчитывать руками, а почаще работать головой – использовать действия с числами. Вот и здесь можно посчитать руками не все звездочки, а только их часть. Обнаруживается особенность рисунка: видно, что звездочек в трех рядах поровну. Можно сосчитать звездочки только в одном ряду, а затем сложить это число три раза. Выполняется счет, затем записывается решение. Отмечается, что нашли сумму равных слагаемых.

Упражнение 20. Нужно, чтобы дети познакомились с работой на калькуляторе, который поможет далее мотивировать введение нового действия умножения. (Если учитель проводил эту работу ранее, то упражнение 20 выполнять не нужно.) Достаточно одного калькулятора на класс. Учитель объясняет, что на этой машинке можно решить любую задачу с любыми числами, но важно выбрать правильное действие – этого калькулятор делать не может, выбирает действия и числа человек, а машина только выполняет вычисления. После записи действия один из учеников выполняет их с помощью калькулятора. Чтобы удостовериться в правильности ответа, дети выполняют и привычные устные вычисления. При решении третьего случая указывается, что калькулятор может легко выполнить и вычитание, и сложение, но что же именно нужно сделать – это должны решить ученики.
Подчеркнем, что знакомство с калькулятором позволяет учащимся осознать различие процессов выбора действия и выполнения вычислений. Важно также, что при этом появляется возможность решать задачи "с большими числами", а не только те, в которых учащиеся "подгоняют" решение под интуитивно найденный ответ.

Введение умножения. На клетчатой части доски очерчен прямоугольник 13 ґ 7 клеток (или вывешивается соответствующий рисунок с клетками). Число клеток может быть иным, но рядов и столбиков должно быть так много, чтобы затруднить как поединичный подсчет клеток, так и выполнение устного сложения.
Учитель поясняет, что перед детьми изображена стенка в ванной комнате, кафель которой нужно заменить новым. Требуется купить столько же плиток, сколько было. Как их сосчитать?

Учитель. Как поступят малыши?
Дети. Они пересчитают плитки по одной.
У. Что заметят старшие ученики?
Д. Плитки уложены одинаковыми рядами. Можно посчитать, сколько плиток в одном ряду.

Кто-то из детей выходит к доске и выполняет работу. Получено число, например 13. Учитель предлагает записать арифметическое действие, которое будет выполняться на калькуляторе. Постепенно выясняется, что число 13 нужно складывать столько раз, сколько имеется рядов плиток. Делается длинная запись сложения, оно начинает выполняться на калькуляторе. Эта работа оказывается слишком долгой, причем по ходу дела происходят сбивки, работу приходится начинать сначала. Наконец учитель предлагает помощь: он сообщает, что сложение равных слагаемых можно заменить действием умножения. Дается запись нового действия, которое выполняется на калькуляторе быстрее, чем сложение, поскольку приходится нажимать только два числа (учитель ненавязчиво называет полученное в результате трехзначное число.)
Таким образом, для введения умножения выбрана предметная ситуация, которая, с одной стороны, требует выделения самими учащимися равных слагаемых, а с другой стороны, число этих слагаемых слишком велико для выполнения сложения не только устно, но и на калькуляторе. Введение умножения позволяет разрешить указанные трудности, и таким образом учащиеся осознают целесообразность появления этого действия и его специфику в отличие от простого пересчета предметов или сложения чисел. Сообщается, что позже они начнут изучать таблицу умножения, "чтобы выполнять это действие без помощи калькулятора, как это умеют делать взрослые".

Упражнение 21. При решении задачи отмечается, что в отличие от задачи с плитками, конфеты мы не видим и не можем действовать как малыши путем пересчета. Числа позволяют выполнить сложение (лучше всего на калькуляторе). Это умеют делать первоклассники. Но есть возможность действовать и как старшие ученики – выполнить умножение. Сделанную запись дети прочитывают по образцу, заданному учителем.

Упражнение 22. Дана схема с неизвестным целым. Его можно найти сложением – делается соответствующая запись и еще до выполнения вычислений записывается способ умножения. Затем оба действия выполняются на калькуляторе, причем обращается внимание, что умножение выполняется быстрее.
Во втором случае – "ловушка". Здесь невозможно воспользоваться умножением, хотя в качестве второго способа можно изменить порядок сложения чисел. В третьем случае делаются записи сложения и умножения. На калькуляторе выполняется умножение, а дети тем временем мысленно складывают однозначные числа. В этом случае они могут выиграть во времени. Выясняется, что причина этому – однозначность чисел и малое количество частей.

Упражнение 23. Учащиеся сначала определяют сумму (без помощи калькулятора) а затем составляют запись (где это возможно) для проверки вычислений умножением.

Упражнение 24. Учащиеся уже знают, что задача может быть решена умножением, если в ее тексте сообщается о равных частях. Они их обнаруживают и вписывают в схему к первой задаче. Схема дополняется нужным количеством частей. Делается запись умножения. Во второй задаче тоже есть указание на равные части, однако, значение их неизвестно, и определить его умножением нельзя. В схему вписывается значение целого, и дорисовываются заготовки для частей. Подчеркивается, что умножением вычисляют значение целого (суммы), а не части (слагаемого). Способ решения такой задачи нам пока неизвестен.

Упражнение 25. Относительно первой и третьей схемы составляются две записи – сложения и умножения. Предлагается выполнить сложение без помощи калькулятора и предсказать число, которое получится на калькуляторе при умножении. При работе со второй схемой учитель уточняет задание: части должны быть равными. Выясняется, что действия сложения и умножения здесь неуместны, и что пока мы не имеем способа решения таких задач.

Упражнение 26. Учащиеся должны составить записи умножения только для трех случаев.

Упражнение 27. Сообщается, что в правом столбике записаны результаты вычислений на калькуляторе. Нужно их использовать для постановки в примеры левого столбика. При работе с последним случаем учитель "настаивает" на переносе числа 96 в левый столбик: ведь использованы те же числа! Но затем выясняется, какой именно для этого должна быть запись в левом столбике. Дальнейшие упражнения можно выполнять по обычному учебнику.