Мария БУРА,
методист Сибирского института развивающего обучения "Пеленг",
г. Томск

Как научиться решать задачи

Существуют различные методические подходы к формированию умения решать текстовые задачи при обучении математике младших школьников.
Один из таких подходов – формирование у учащихся умения решать задачи определенного вида (например, решение задач на увеличение величин – прямая и косвенная форма, на разностное сравнение величин, на кратное сравнение величин и т.д.).
Другой подход основан на применении семантического и математического анализа текстовых задач, когда задача разбирается от данных к цели (синтетический способ) и от цели к данным (аналитический способ).
Обучение детей математике по программе развивающего обучения в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова позволяет организовать деятельность детей по решению текстовых задач иначе. Как именно? На этот вопрос отвечает Мария Бура, методист Сибирского института развивающего обучения "Пеленг" г. Томска¹.

Цель развивающего обучения – развитие учащихся, формирование учебной деятельности. Путь достижения этой цели лежит через основной метод обучения – решение учебных задач. Метод решения учебных задач – это метод приобретения школьниками новых знаний, которые представляют собой систему сложных научных понятий.

Чтобы осуществить деятельность ребенка по усвоению системы понятий, необходимо организовать процесс, позволяющий видеть предмет как объект исследования, определять действия с ним задолго до того, как будет получен конечный результат, то есть сформировано само понятие. А это означает, что с начального момента конструирования должен быть образ (символ), который позволит ориентироваться в предмете и анализировать его, будет служить средством продвижения в содержании.

Таким особым видом символо-знаковой идеализации и построения научной предметности и служит моделирование. "Модели и связанные с ними представления являются продуктами сложной познавательной деятельности, включающей прежде всего мыслительную переработку исходного чувственного материала, его "очищение" от случайных моментов и т.д. Модели выступают как продукты и как средство осуществления этой деятельности²".

Поэтому одной из задач курса обучения детей математике является овладение детьми действием моделирования. Учебный предмет, развертывающийся как система понятий, требует логики движения в его познании от всеобщих свойств к конкретным, выделение и исследование оснований, определяющих данную систему, что невозможно без языка моделирования. Моделирование в обучении должно быть усвоено учащимися и как способ познания, которым они должны овладеть, и как важнейшее учебное действие, являющееся составным элементом учебной деятельности.

Как решать эту задачу – вопрос серьезный и требующий особого внимания. Мы исходим из того, что формирование действия моделирования, общих методов решения задач, способностей к решению любых задач предполагает качественно иной подход к формированию умения решать текстовые задачи. Если моделирование – это метод и средство познания, то тогда набор текстовых задач – это один из "полигонов", где отрабатывается действие моделирования, умение решать задачи выступает как один из критериев сформированности действия моделирования.

Арифметические и алгебраические текстовые задачи в литературе часто называют сюжетными, так как в них всегда есть словесное описание какого-то события, явления, действия, процесса. Поэтому сама сюжетная задача – это модель, где главным образом описана количественная сторона этого явления.

Рассматриваемая в этой задаче ситуация характеризуется зависимостью между значениями величин, как известных, так и неизвестных. Такая задача определяется целью, данными и связью между целью и данными. Текст любой сюжетной задачи можно воссоздать по-другому (предметно, графически, с помощью таблиц, формул и т.д.). Это и есть переход от словесного моделирования к другим формам моделирования. Представление ситуации в предметно-практической деятельности с помощью зарисовок – один из видов семантического анализа текстовой задачи и одновременно моделирование описанного процесса таким образом. Краткая запись условия задачи с помощью таблиц, схем, формул есть также анализ условия задачи и одновременно фиксация его с помощью моделей других форм.

Понятно, что сюжетная задача – это задача-описание, а описание можно представить по-разному – с помощью любого типа модели, где необходимо зафиксировать цель, данные и связь между ними.

Модели также являются эффективным средством поиска решения задачи. Тем более, что в процессе решения приходится переходить от одной формы записи к другой. Не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для ее дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче цель, данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения. Рассмотрим, например, такую задачу.

На лекциях в четырех аудиториях присутствуют 870 студентов, причем в первой аудитории на 60 студентов больше, чем во второй, во второй – на 20 студентов меньше, чем в третьей, а в третьей – на 50 меньше, чем в четвертой. Сколько студентов в каждой аудитории?

Если мы представим текст задачи в такой форме

,

то это будет краткая запись условия задачи. Но для того, чтобы решить данную задачу, эту матричную форму записи мы должны преобразовать, устанавливая отношения между величинами, не нарушая указанных связей, но с других позиций, направленных на достижение цели. Тогда это могут быть такие записи:

Пользуясь теперь одной из таких записей, можно решить задачу. Если ребенок в состоянии сделать все четыре записи (а это показывает, насколько он владеет действием моделирования), то у него есть возможность выбора более рационального способа решения.

Кроме того, ученик может представлять краткую запись условия в другой форме.

Например,

Таким образом, у ученика есть выбор между типами моделей.

А если посмотреть на первую схему, то она позволяет записать уравнение для решения таким образом:

х х 4 + 150 = 870

Составленное по этой текстовой задаче уравнение есть тоже задача, которая решается путем преобразования моделей:

х х 4 = 870 – 150
х х 4 = 720
х = 720 : 4
х = 180

Контроль, пожалуй, тоже легче осуществлять, опираясь на разные виды моделирования.

Только на одном этом примере видно, что, решая текстовые задачи, мы работаем над формированием действия моделирования, и наоборот, чем лучше ребенок овладевает действием моделирования, тем легче ему решать задачи.

Процесс решения сюжетных задач сложен. Если его рассматривать с точки зрения психолога, то нужно установить: из каких мыслительных операций состоит процесс решения, как школьник осуществляет анализ, планирует решение, контролирует себя, как он разбирается в связях между величинами и т.п.

Если этот процесс рассматривать с математической точки зрения, то важно, на какие понятия ребенку опираться, чтобы рассмотреть все отношения; какие математические операции следует произвести, чтобы ответить на вопросы задачи; в каком порядке выстроить свою структуру действий по достижению цели; что выбрать за основание своих действий.

Если на этот процесс смотреть с позиции педагога, то следует выяснить, каковы те приемы обучения, которые формируют у детей умение решать текстовые задачи.

С позиции субъекта учебной деятельности необходимо знать, какие у него есть средства, чтобы справиться с решением задачи, найти конечный результат. Таким мощным средством является действие моделирования, которым школьник овладевает в процессе обучения, нарабатывая его как способ или даже метод продвижения в системе понятий.

Предметным действием, на базе которого предполагается сформировать учебную деятельность и овладеть содержательным понятием рационального числа на уроках математики, является действие измерения величин. Выстраивая систему учебных задач, начиная с предметно-практических, по воспроизведению величины, учитель "втягивает" детей в процесс моделирования. Овладевая разными видами моделирования, ученики овладевают понятийным содержанием. Это значит, что когда дети приступают к решению текстовых задач, они знакомы с разными видами моделирования (предметным, графическим, буквенным). Более того, через решение задачи воспроизведения величины шла серьезная подготовительная работа к тому, чтобы справиться с разными видами задач, предлагаемых в начальной школе. Например, в 1-м классе тема урока "Восстановление формул и схем по заданным отношениям" (№ 44, 45, учебник А.М. Захаровой, Т.И. Фещенко)³. Отношения заданы схемой:

Эти отношения детям понятны, так как до этого они уравнивали по меньшей величине и владеют этим способом уравнения. Учащиеся уже фиксировали этот способ и графически, и в буквенной записи.

Поэтому им по силам восстановить заданные отношения с помощью формул:

Далее ученикам предлагается самим придумать сюжеты по данным записям и текстовые задачи (На одной ветке сидело В синиц, на другой – У синиц. Когда с первой ветки улетело К синиц, то на обеих ветках синиц стало поровну. Сколько синиц стало на первой ветке?).

Продолжение следует

¹ Материалы статьи соответствуют содержанию программы по математике А.М. Захаровой.

² Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. – М.: Педагогика, 1986, с. 113.

³ Имеется в виду учебник для 1-го класса трехлетней начальной школы.