Ольга ТАРАКАНОВА,
г. Москва

Математика. Учебник Л.Г. Петерсон

Нетрадиционные задачи и способы их решения

Задачи на смекалку всегда вызывают некоторые затруднения у учителей начальных классов, наиболее трудным данный раздел считается в учебниках Л.Г. Петерсон. Усложняется обучение учеников решению данных задач отсутствием методических рекомендаций для 3-го и 4-го классов. Цель написания статьи – помочь учителям в решении таких задач, а также в обучении их решению учеников. Нумерация задач дается по тетрадям трехлетней начальной школы (3-й класс. Часть 1.).

III четверть

14. (с.  4.) Сложи фигуру из 16 палочек. Переложи 4 палочки так, чтобы получилось 4 квадрата.

Ответ:

13. (с. 16) В 2 ч дня в Москве шел дождь. Можно ли ожидать, что через 10 ч в Москве будет солнечная погода? Почему?

Ответ: Солнечной погоды ожидать нельзя, так как через 10 часов будет 14 + 10 = 24 (ч.) полночь.

19. (с. 19) Тройка лошадей пробежала за час 24 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь?

Ответ: Каждая лошадь пробежала 24 км.

4. (с. 23) Является ли выражение 7 x 23–36 высказыванием? Дополни его так, чтобы получилось: а) верное высказывание; б) неверное высказывание.

Ответ: выражение не является высказыванием, так как нельзя сказать, верно оно или неверно: а) 7 x 23 – 36 = 125; б) например, 7 x 23 – 36 = 126.

17. (с. 25) Крестьянин пришел к царю и попросил: "Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада". Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе есть только одни ворота и около каждых ворот стоит сторож.
"Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада", – сказал крестьянин первому сторожу.
"Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, которые у тебя будут, и еще одно", – ответил сторож. То же сказали и другие сторожа, охранявшие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы, отдав положенные части трем сторожам, унести домой одно яблоко?

Первый способ решения – арифметический. Рассуждаем с конца задачи. У крестьянина осталось 1 яблоко, перед этим он отдал 1 яблоко, значит, у него было 1 + 1, но это была половина, тогда (1 + 1) x 2 – столько яблок у крестьянина было, когда он подошел к последнему сторожу. Второму сторожу крестьянин отдал 1 яблоко, значит, у него было (1 + 1) x 2 + 1 и еще половину ((1 + 1) x 2 + 1) x 2. Аналогичная ситуация произошла при встрече крестьянина с первым сторожем. Таким образом, он должен был взять в саду (((1 + 1) x 2+1) x 2+ 1) x 2 = 22 (ябл.)

Второй способ – алгебраический. Пусть х яблок крестьянин взял в саду, подойдя к первому сторожу, он отдал х : 2 – половину и еще одно, значит, х : 2 – 1. Второму сторожу он отдал половину (х : 2 – 1) : 2 и еще одно, значит, (х : 2 – 1) : 2–1. Третьему сторожу он отдал половину и еще одно, то есть ((х : 2 – 1) : 2 – 1) : 2 – 1. Зная, что у него осталось 1 яблоко, составим уравнение ((х : 2 – 1) : 2 – 1) : 2 – 1 = 1.

Третий способ – с помощью обратных операций, причем оформлять можно по-разному.
Оформить можно в виде столбца операций, тогда для того, чтобы решить уравнение, надо подниматься по таблице снизу вверх, производя обратные операции.
Оформить можно в виде линейного выражения, записать обратные операции и вычислить его значение.
Для учеников решение данной задачи с помощью таблицы или схемы с использованием обратных операций оказалось наиболее понятным.

Ответ: 22 яблока.

14. (с. 28) Саша, Сережа, Дима и Алеша получили за контрольную работу оценки "5", "5", "4" и "3". Саша получил отметку более высокую, чем Дима, а Сережа получил такую же оценку, как Алеша. Кто получил тройку?

Рассуждения по ходу чтения задачи. Саша получил отметку более высокую, чем Дима – это возможно при следующих условиях: Саша получил "5", а Дима – "4" или Саша получил "4", а Дима "3". Сережа получил такую же оценку, как Алеша, но одинаковые оценки могут быть только "5", значит, Саша мог получить только "4", а Дима – "3". Ответ: Сережа получил "5", Алеша – "5", Саша – "4", а Дима – "3".
Чтобы рассуждения были более наглядными полезно оформлять рассуждения в виде таблицы.

Быстрее рассуждения проводятся с конца, а именно, Сережа получил такую же оценку, как Алеша, значит, у них оценка "5", остались оценки "4" и "3". Известно, что Саша получил оценку более высокую, чем Дима, значит оценка "4" у Саши, а оценка "3" у Димы.

9. (с. 31) Одно яйцо варится 4 мин. За сколько минут сварятся 6 яиц?

Ответ: за 4 мин, если все яйца варить вместе.

8. (с. 33) Напиши наименьшее и наибольшее натуральное число, составленное из цифр 7, 9, 1, 3, 0. Найди сумму и разность получившихся чисел.

Составим наименьшее натуральное число из данных цифр. Цифры располагаем в порядке возрастания и помним, что нуль не может быть первой цифрой: 10379.
Составим наибольшее число, располагая цифры в порядке убывания: 97310.
Найдем сумму 10379+97310=107689 и разность 97310–10379= 86931.

Ответ: 107689 и 86931.

13. (с. 34) Бабушке надо зажарить 6 котлет, а на сковородке умещается только 4 котлеты. Каждую котлету надо жарить 5 мин на одной стороне и 5 мин на другой. За какое минимальное время бабушка зажарит все котлеты?

Обычно жарят так: кладут 4 котлеты жарят 5 мин, переворачивают и жарят еще 5 мин, затем кладут еще 2 котлеты и все повторяют в том же порядке. На все это потребуется 20 мин.
Однако на это можно потратить и меньше времени. Сначала жарим 5 мин четыре котлеты с одной стороны. Затем две котлеты переворачиваем, а две другие заменяем сырыми. Жарим еще 5 мин. Две обжаренные с двух сторон котлеты заменяем полупрожаренными, а две другие переворачиваем и жарим еще 5 мин.
При такой жарке потребуется 15 мин. Вот как этот процесс можно изобразить с помощью таблицы.

11. (с. 37) Для Вани, Толи и Миши есть три пирога: с рисом, капустой и яблоками. Миша не любит пирог с яблоками и не ест с капустой. Ваня не любит пирог с капустой. Какие пироги они выберут?

Данные занесем в таблицу.

Начинаем раздавать пироги с самого привередливого Миши, ему даем пирог с рисом, затем
менее привередливый Ваня, он получит пирог с яблоками, а Толе останется пирог с капустой. Все дети довольны.

12. (с. 37) Из спичек сложена фигура, показанная на рисунке. Требуется убрать 3 спички и переложить 2 спички так, чтобы осталось 5 равных треугольников. Как это сделать?

Убираем нижний средний треугольник, а двумя верхними спичками замыкаем треугольники в среднем ряду и получаем такое изображение.

Следующие три задачи взаимосвязаны и должны решаться последовательно.

№13. (с. 53) Сколько полных недель в високосном году? Сколько еще остается дней? А в простом году?

В високосном году 366 дней, а число полных недель 52 и еще остается 2 дня, так как 366 : 7 = 52 (ост. 2).
В невисокосном году 365 дней, поэтому полных недель 52, а остается 1 день, так как 365:7=52 (ост.1).

14. (с. 53). В году 365 дней и 53 вторника. Какой день недели был 1 января этого года?

Этот год состоял из 52 недель и еще одного дня. В 52 неделях было 52 вторника, значит последний день года – вторник. Каждая из 52 предшествующих этому вторнику недель оканчивалась понедельником и, следовательно, начиналась с воскресенья. Следовательно, этот год начался с воскресенья.

15. (с. 53) 1 января 1996 г. был понедельник. Какой день недели будет 1 января 1997 г.? 1 января 1998 г.? 1 января 2001 г.?

1 января 1996 г. был понедельник. До 1 января 1997 г. пройдет 366 дней, так как 1996 г. високосный. 366 : 7 = 52 (ост.2), значит, 1 января 1997 г. будет среда, так как пройдет 2 дня после понедельника.
До 1 января 1998 г. пройдет 365 дней после 1997. 365 : 7 = 52 (ост.1), значит, пройдет полных 52 недели и еще один день, таким образом, 1 января 1998 г. будет четверг.
Посчитаем, сколько дней пройдет с 1996 г. до 1 января 2001 г.:
366(1997) + 365(1998) + 365(1999) + 366(2000) + 365(2001). Посчитаем остатки от полных недель: 2+1+1+2+1, то есть пройдет еще полная неделя. Таким образом, 1 января 2001 г. – понедельник.

Или можно решать так:
366 + 365 + 365 + 366 + 365 = 1827, 1827 : 7 = 261. Пройдет с 1 января 1996 года 261 полная неделя, значит, 1 января 2001 г. будет опять понедельник. Можно было продолжить любой из вариантов рассуждений, начиная с 1998 г.

14. (с. 56) В семи кружках расставлены числа от 1 до 7 так, что сумма четырех чисел, расположенных в вершинах каждого четырехугольника, составляет 13. Расставь эти же числа так, чтобы сумма четырех чисел в вершине каждого четырехугольника была равна 14, 15, 16, 17.

Анализируем рисунок. Число 13 представили тремя способами в виде суммы четырех слагаемых: 13 = 1 + 2 + 4 + 6 = 1 + 2 + 3 + 7 = 1 + 3 + 4 + 5.
Аналогично нужно представить число 14 в виде суммы четырех слагаемых тремя способами: 14 = 2 + 4 + 7 + 1 = 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 3 + 6 + 4. Цифра 4 встречается во всех равенствах, значит, записывается в середину (на место цифры 1), а цифры, которые записаны один раз, записываются в углы решетки (на место цифр 5, 6, 7). Получаем такую числовую решетку.
Составляем решетку, в которой сумма четырех чисел в вершинах каждого четырехугольника будет равна 15 : 15 = 1 + 2 + 5 + 7 = 2 + 3 + 4 + 6 = 1 + 3 + 4 + 7 = 1 + 3 + 5 + 6. Выбираем три суммы, в которых есть одно общее слагаемое: 15 = 2 + 3 + 4 + 6 = 1 + 3 + 4 + 7 = 1 + 3 + 5 + 6.
Составляем решетку с суммой 16 и 17.
16 = 1 + 2 + 6 + 7 = 2 + 3 + 5 + 6 = 6 + 5 + 1 + 4 и 17 = 2 + 4 + 5 + 6 = 4 + 5 + 1 + 7 = 7 + 5 + 2 + 3.

15. (с. 56) Пять товарищей спускались с горы на санках. Игорь проехал дальше Романа, но ближе, чем Олег. Костя проехал меньше, чем Роман, а Илья – дальше Олега. Кто из ребят проехал дальше всех, а кто – меньше всех?

Мы будем моделировать результаты движения мальчиков на числовом луче. По ходу чтения задачи отмечаем точками имена мальчиков на числовом луче, понимая, что если мальчик проехал дальше, значит, на числовом луче он находится правее.
Игорь проехал дальше Романа, значит, на числовом луче отметим точки и подпишем имена: Игоря правее Романа. Игорь проехал меньше, чем Олег, отметим точку и подпишем имя Олега правее Игоря. Рассуждая аналогично, получим такое расположение имен мальчиков на числовом луче.

Ответ: дальше всех проехал Илья, меньше всех – Костя.

В дальнейшем, решая аналогичные задачи, можно не отмечать точки на луче, а просто записывать имена, одно правее другого, в результате получится ряд имен, который и установит порядок.

12. (с. 62) Расположи 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента. Рассмотри все возможные варианты расположения 4 элементов в двух множествах.

Условие задачи оформляем следующим образом.

Решать задачу можно методом проб и ошибок, подбирая нужную комбинацию точек, а можно рассуждать логически. Если во множестве М находится 3 элемента, и во множестве К – 3 элемента и если это разные элементы, то их в сумме будет 3 + 3 = 6. А их всего 4, значит, 6 – 4 = 2 – общие элементы, которые попадают в пересечение данных множеств.

12. (с. 71) В 3-м классе учатся 25 учеников. Им было предложено заниматься в двух кружках: по математике и по "окружающему миру". В каждый записалось по 16 человек, причем 10 человек решили заниматься одновременно математикой и "окружающим миром".

Получив результаты, ребята удивились: "Можно подумать, что у нас в классе не 25 учеников, а все 42". Но один любитель математики сказал: "Вовсе нет! У нас есть несколько ребят, которые не хотят заниматься ни в одном из кружков. Я даже могу сказать, сколько их". Как он это узнал?

Оформляем условие задачи и решаем по действиям.

1) 16 – 10 = 6 (уч.) – занимаются только математикой и только окружающим миром,
2) 6 + 10 + 6 = 22 (уч.) – занимаются в данных кружках,
3) 25 – 22 = 3 (уч.) – не занимаются в данных кружках.

13. (с. 74) Расположи 9 элементов в 3 множествах так, чтобы в одном из них было 2 элемента, в другом – 5 элементов, а в третьем – 7 элементов. Сколько различных решений этой задачи ты сможешь найти?

Для определенности запишем, что во множестве А находятся 2 элемента, во множестве В – 5 элементов, а во множестве С – 7.
Запишем условие задачи.

Покажем некоторые решения.
Рассуждаем следующим образом.
1) 2 + 5 + 7 = 14 (эл.) – всего элементов, если множества не пересекаются,
2) 14 – 9 = 5 (эл.) – попадают в пересечение.
В данной задаче пересекаются 3 множества, а мы применили способ нахождения пересечения двух множеств. 5 – это максимальное число элементов, которое может быть в пересечении. Но в пересечении множеств может быть и меньше элементов.
Покажем решения, когда в пересечении получается 5 элементов.

Показаны решения, когда в пересечении получается 5, 4 и 3 элемента. Поиск решений можно продолжить.

12. (с. 77) В вазе лежат персик, абрикос и банан. Сколькими способами можно взять из вазы эти фрукты?

Это комбинаторная задача на нахождение числа способов. Способы выбора данных фруктов зависят от порядка предпочтения. Ученики 1-го класса, обучавшиеся по учебникам этого же автора, знают правило перебора, которое позволит не упустить из виду ни один из способов. Если взять первые буквы от названий фруктов, то способы перебора можно записать так: ПАБ, ПБА, АПБ, АБП, БАП, БПА. Порядок перебора следующий: каждый из фруктов должен занять первое место в тройках дважды, два других фрукта записываются в любом порядке, а в следующей тройке меняются местами.
Мы рассмотрели случай, когда фрукты берут по одному. Если можно брать 2 фрукта, тогда возможны такие способы: ПА и Б, Б и ПА, ПБ и А, А и ПБ, АБ и П, П и АБ. И еще один способ, если можно взять сразу 3 фрукта из вазы. Таким образом, мы нашли 6 + 6 + 1 = 13 способов.

Ответ: 13 способов.

15. (с. 80) Записано подряд семь семерок. Придумай различные способы такой расстановки скобок и знаков арифметических действий, чтобы значение полученного выражения равнялось семи. Какие еще значения выражений могут при этом получаться? Как ты думаешь, при какой расстановке знаков действий и скобок значение полученного выражения будет наибольшим?

Вот некоторые варианты получения числа 7: (7 – 7) x 7 x 7 x 7 x 7 + 7 = 7; (7 x 7 x 7 x 7) : (7 x 7 x 7) = 7; (7 : 7) x (7 : 7) x (7 : 7) x 7 = 7.
Наибольшее число с использованием знаков арифметических действий и семерок, вероятно, получится, если все семерки перемножить: 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7= 823 543. При такой общей формулировке задачи можно рассмотреть следующие случаи: записать число, составленное из семи семерок – 7 777 777; 777 777 x 7= 5 444 439; 7777 x 777 = 6 042 729; 77777 x 77 = 5 988 829. Наибольшее число 7777777.
Лучше задачу сформулировать так: Записано подряд семь семерок. Между цифрами нужно вставить знаки арифметических действий и скобки. При такой формулировке цифры нельзя объединять в числа и задача будет решаться проще.

IV четверть

10. (с. 89) Летела стая гусей, а навстречу им гусак.
– Здравствуйте, 20 гусей!
– Нет, нас не 20. Если бы нас было в 2 раза больше, да еще 3 гуся, да еще ты с нами, тогда нас было бы 20. Сколько было гусей?

Решим задачу составлением уравнения. Пусть х гусей летело навстречу гусаку, в 2 раза больше – это значит 2 х, да еще 3, значит, 2 х + 3, да еще ты с нами, будет 2 х + 3 + 1. Известно, что тогда бы их было 20, составим уравнение.
2х + 3 + 1 = 20,
х = 8 (г.)

Ответ: 8 гусей.

11. (с. 89). Сколько квадратов ты видишь на рисунке?

Маленьких квадратиков на рисунке 7 x 2 = 14.
Квадратов, состоящих из четырех квадратиков 6. Всего 14 + 6 = 20 квадратов.

10. (с. 98) Запиши множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 9 и которые не изменяются при чтении их слева направо и справа налево. Представь полученные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Решение. Трехзначные числа, которые одинаково читаются слева направо и справа налево имеют вид: 1*1, 2*2, 3*3, 4*4. Затем находим среднюю цифру, вычитая из 9 сумму двух известных цифр.

Ответ: 171, 252, 333, 414.

11. (с.  98) На рисунке все фигуры, кроме одной, имеют общее свойство. Какая фигура "лишняя"?

Ответ: все фигуры, кроме одной (фигуры Е) имеют две оси симметрии, то есть данные фигуры можно сложить пополам двумя способами.

Ответ: фигура Е.

9. (с. 102) К берегу реки подошли 3 людоеда. У каждого из них по одному слуге. В отсутствии хозяина его слугу съедают другие людоеды. Всем им надо перебраться на другой берег в двухместной лодке. Как это сделать, чтобы никто никого не съел?

Если людоедов обозначить А, Б, В, а их слуг соответственно а, б, в. Тогда перевозку можно проиллюстрировать, потому что описать словами сложно.

7. (с. 108) Представь число 16 всеми способами в виде произведения двух множителей. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась наименьшая сумма? Проделай то же самое с числом 36, затем с числом 64. Какое можно высказать предположение (гипотезу)? Как ты думаешь, можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна для всех чисел, которые представляются в виде произведения равных множителей?

Представляем каждое число в виде произведения двух множителей, находим сумму его множителей и сравниваем суммы.

16 = 1 x 16, 1 + 16 = 17
16 = 2 x 8, 2 + 8 = 10
16 = 4 x 4, 4 + 4 = 8 – наименьшая

36 = 1 x 36, 1 + 36 = 37
36 = 2 x 18, 2 + 18 = 20
36 = 3 x 12, 3 + 12 = 15
36 = 4 x 9, 4 + 9 = 13
36 = 6 x 6, 6 + 6 = 12 – наименьшая сумма

64 = 1 x 64
…
…
…
64 = 8 x 8, 8 + 8 = 16 – наименьшая сумма

Гипотеза: если число представить в виде произведения двух множителей, то сумма множителей будет наименьшей в том случае, когда множители равны. На основании трех примеров нельзя утверждать, что для всех чисел гипотеза верна.

Комплексный подход в построении устных упражнений*

Предложенные здесь задания, носят комплексный характер, так как для их решения необходимы знания разных разделов математики или тем. Независимо от того, по какому учебнику идет обучение математике в начальных классах, в первую очередь отрабатывается материал, который включен в обязательный минимум содержания начального общего образования, а дополнительный материал, включенный разными авторами в учебники, например, Л.Г. Петерсон, дает возможность разнообразить традиционные задания и включать нетрадиционные для начальной школы задания. В результате увеличивается число типов задач, выучить методы их решения и типологию сложно, а, следовательно, приходится рассуждать при решении каждой задачи, искать пути решения, что ведет к интенсивному развитию мышления учащихся, активности и самостоятельности. Все задания разбиты по традиционным разделам курса математики начальной школы, тем самым акцентируя внимание учителя на том, как дополнительный материал учебников Л.Г. Петерсон работает на основные темы.

* Л.Г. Петерсон "Математика. 4-й класс".

Числа и вычисления

1. Найдите значение выражения.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
2 + 4 + 6 + ... + 96 + 98 + 100
1 + 3 + 5 + ... + 95 + 97 + 99
1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999
99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 + ... + 7 – 5 + 3 – 1

Решение:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 x 50 = 5050
Сколько слагаемых в сумме?

Ответ: 100.

Найдите сумму последних членов, стоящих слева и справа.

Ответ: 101.

Найдите сумму предпоследних членов.

Ответ: 101.

Какую закономерность вы замечаете?

Ответ: сумма членов, одинаково отстоящих от концов, равна 101.

Сколько скобок получилось?

Ответ: 100 : 2 = 50.

• 2 + 4 + 6 + ... + 96 + 98 + 100 = (2 + 100) + (4+ 98) + (6 + 96) + ... + (48 + 54) + (50 + 52) = 102 x
  x 25 = 2550

Сколько слагаемых в сумме?

Ответ: 50. В первом задании было 100 членов, во втором – половину членов убрали, значит, осталось 100 : 2 = 50.

Какие члены ряда объедините в скобки?

Ответ: Одинаково отстоящие от концов.

Чему равна сумма в каждой скобке?

Ответ: 102.

Сколько скобок получится?

Ответ: 50 : 2 = 25.

• 1 + 3 + 5 + ... + 95 + 97 + 99 = (1 + 99) + (3 +97) + (5 + 95) + ... + (49 + 51) = 100 x 25 = 2500

Сколько слагаемых в сумме?

Ответ: 50.

Какие члены объединим в скобки?

Ответ: Одинаково отстоящие от концов суммы.

Чему равна сумма в каждой скобке?

Ответ: 100.

Сколько скобок?

Ответ: 50 : 2 = 25.

Как можно было иначе вычислить сумму ряда?

Ответ: Сумма в первом ряду – 5050, нам известна сумма во втором ряду – 2550, найдем сумму третьего ряда следующим образом – 5050 – 2550 = 2500.

• 1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999 = (1 + 999) + (3 + 997) + (5 + 995) + ... + (497 + 503) + (499 + 501) = 1000 x 250 = 250 000

Сколько слагаемых в данной сумме?

Ответ: 1000 : 2 = 500. Если бы записали все члены по порядку, получилось бы 1000 членов, нет каждого второго члена, следовательно, в ряду 500 членов.

Какие члены объедините?

Ответ: Равноотстоящие от концов суммы.

Чему равна сумма в каждой скобке?

Ответ: 1000.

Сколько таких скобок?

Ответ: 500 : 2 = 250.

• (99 – 97) + (95 – 93) + (91 – 89) + ... + (7 –  5) + (3 – 1) = 2 x 25 = 50

• 

2. Найдите верхнюю и нижнюю границы выражений.

Решение:

200 + 300 < 217 + 345 < 300 + 400
500 < 217 + 345 < 700

900 – 600 < 936 – 549 < 1000 – 500
300 < 936 – 549 < 500

800 x 40 < 853 x 47 < 900 x 50
32000 < 853 x 47 < 45000

2800 : 40 < 2952 : 36 < 3000 : 30
70 < 2952 : 36 < 100

3. С помощью прикидки определите, сколько знаков будет содержать значение выражения:

Как изменяются значения выражений в столбцах?

Ответ: В первом – увеличиваются, во-втором – уменьшаются.

4. Найдите угол смежный с углом А, если:

Каким является угол смежный с острым (прямым, тупым)?

5. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его стороны равны:

4 см и 6 см
10 см и 15 см
12 см и 5 см

6. Расположите числа в порядке убывания.

Запишите частные в виде дробей. Прочитайте полученные дроби.

7. Каким натуральным числам равны дроби?

8. Выразите дроби в процентах и найдите значения выражений.

9. Найдите все числа, кратные 8, которые являются решениями неравенств.

15 < a < 80
80 < b < 100

10. Сравните.

11. Найдите расстояние между точками, заданными координатами.

По какому признаку точки распределены в два столбца?

12. Дано число: 1.

Назовите числа, которые больше данного числа.
Назовите числа, которые меньше данного числа.
Где расположено число 0, относительно данного числа?
Назовите числа, больше данного, но меньше 2.
Назовите числа, меньше данного, но больше 1.
Назовите дробь, равную данной.

13. Назовите верные высказывания.

а + 0 = 0

1 г = 366 дн.

Корнями уравнения х(х – 2) = 0 являются числа 0 и 3

1%>

Внесите исправления в ложные высказывания, чтобы они стали истинными.

14. Найдите три значения переменной а, удовлетворяющие неравенствам.

0 < a <
3 < a < 4

1190 < a < 1195

15. Заполните пропуски.

16. Даны дроби.

{}

Прочитайте правильные дроби, назовите их числители.
Прочитайте неправильные дроби, назовите их знаменатели.
Как вы определяли в каждом случае, является ли дробь правильной?

17. Даны множества.

А = {}

B = {}

Сравните два множества: найдите, что у них общего и различного.

Ответ: Общее – множества составлены из дробей. Дроби множеств А и В составлены из одинаковых чисел. Различие – множество А – множество правильных дробей, множество В – множество неправильных дробей, полученых из А переворачиванием дробей. Такие дроби называются обратными.
В какое множество вы бы записали дробь ? Можно ли ее перевернуть и записать в другое множество?
Какое еще название есть у дроби 1/2?
Какое название имеют дроби со знаменателем 100? Найдите такую дробь и дайте ей другое название.

18. Назовите дроби со знаменателем 9:

числители которых больше 3;
числители которых меньше 8;
числители больше 3 и меньше 8.

Запишите множества под соответствующим выражением.

19. Каким натуральным числам равны дроби.

20. Сравните числа.

Назовите правила, которыми вы пользовались при сравнении данных чисел.

21. Прочитайте задания. Сравните и выполните их.

Найдите от 1 м, числа 100, числа а.

Найдите 1% от 1 м, числа 100, числа а.

22. Найдите 2%, 10%, 50% от числа 100, от числа 550. Каким правилом вы воспользовались при решении задач?

23. Чем похожи данные задания и чем отличаются? Определите тип задачи. Покажите модель.

Найдите от числа 2500, от числа а.

Найдите 5% от числа 2500, от числа а.

24. Что общего в данных заданиях, что различного? Определите тип задачи. Покажите модель.

Найдите число, которого равно 21.

Найдите число, 13% которого равно 39.

25. Какую часть составляет число 15 от числа 100. Сколько это составляет процентов? Покажите модель, которой вы пользуетесь при решении данной задачи.

26. Сложите дроби.

По какому признаку дроби разбиты на столбцы? Можно ли было без вычислений определить данный признак разбиения?
Сравните дроби по строкам. Какие вы видите закономерности? Можно было без вычислений, ответить на вопрос, в каком порядке расположены дроби в строках?

27. Выполните действия.

Чем отличаются примеры в столбцах?

Ответ: примеры на сложение и на вычитание.

Что общего в строках?

Ответ: одинаковые дроби.

Что общего в столбцах?

Ответ: первый столбец – правильные дроби, второй – неправильные дроби.

28. Сравните дроби.

Что общего в столбцах?

Ответ: в первом столбце дроби равны, во втором не равны.

Как вы рассуждали при сравнении дробей?
Что общего в строках?

Ответ: в первой строке, чтобы ответить на вопрос, пришлось вычислять, во второй строке применять свойства арифметических действий.

29. Найдите закономерность и продолжите ряд.

30. Вставьте пропущенные числа.

Ответ: В первом ряду знаменатели у дробей одинаковые, а числители уменьшаются на 2, пропущена дробь . Во втором ряду числители дробей увеличиваются в 10 раз, а знаменатели увеличиваются на 1, таким образом, пропущена дробь . В третьем ряду каждая дробь, начиная с третьей, получается сложением двух предыдущих, значит, пропущена дробь .

31. Каким арифметическим действием строится ряд?

32. Запишите результат деления с остатком.

По какому правилу примеры записаны в 3 столбика?

Ответ:

5 : 4 = 1 (ост. 1)
6 : 4 = 1 (ост. 2)
15 : 4 = 3 (ост. 3)

4 : 4 = 1 (ост. 0)
8 : 4 = 2 (ост. 0)
12 : 4 = 3 (ост. 0)

1 : 4 = 0 (ост. 1)
2 : 4 = 0 (ост. 2)
3 : 4 = 0 (ост. 3)

В каких случаях остаток равен нулю?
В каких случаях частное равно нулю?

33. Найдите длину неизвестного отрезка, используя взаимосвязь между частью и целым.

Решение:

а) 121 – (27 + 38) = 56 (м)
б) 15 + 17 + 29 = 61 (дм)
в) 300 – 125 + 18 = 193 (см)
г) 137 + 128 – 150 = 115 (мм)

34. Заполните таблицы и запишите формулы для переменной у.

Ответ: у = 10х, числа в первую таблицу – 1540 и 20130;
у = х : 5, числа во вторую таблицу – 20, 25, 34.

Алгебраический материал

1. Каждой записи дайте название.

Назовите высказывания и определите, верные ли они?
Выпишите и решите уравнения. Сделайте вывод о возможном количестве корней уравнения.

Ответ:

253 + 372 – числовое выражение,
2 x х + 4 x х = 48 – уравнение, один корень,
351 + 449 = 700 – числовое равенство (неверное высказывание),
473 + 123 < 580 – числовое неравенство (верное высказывание),
0 x х + 37 = 37 – уравнение, много корней,
(а + 384) x 2 – буквенное выражение,
х + 2 < 5 – буквенное неравенство,
0 x (х + 1256) = 5 – уравнение, нет корней.

2. В каком уравнении значение корня будет наибольшим, в каком наименьшим.

Найдите наименьший корень в каждом столбце.

3. Можно ли утверждать, что корни уравнений в каждом столбце одинаковы.

Ответ: последнее уравнение в каждом столбце отличается от всех предыдущих. Отметим общее в уравнениях каждого столбца. В первом столбце все уравнения имеют корнем число 0, в последнем корень – любое число. Во втором – все корни равны нулю, кроме последнего, где корней нет, так как на нуль делить нельзя. В третьем столбце корни тех уравнений равны, в которых сумма и слагаемое равны. В четвертом столбце корни тех уравнений равны, в которых равны уменьшаемое и разность.

4. По какому признаку выражения распределены по столбцам?

5. Сравните понятия "уравнение" и "неравенство с переменной" по следующим вопросам.

Уравнение

Что называются уравнением?
Какое значение переменной называют корнем уравнения?
Решите уравнения.

Сколько корней может иметь уравнение?

х – 3 = 5 (1),
х ( х – 5) = 0 (2),
х x 0 = 2 ,
0 x х = 0,
0 : х = 0 (много, х не = 0)

(В скобках указано число решений.)

Неравенство

Что называют числовым неравенством? Что называют неравенством с переменной?
Какое значение переменной называют решением неравенства?
Найдите решения неравенств.

Сколько решений может иметь неравенство?

6. Верно ли утверждение "Корни уравнения в каждой паре одинаковы".

х + (367 + 33) = 425 и (х + 33) + 367 = 425
(х + 25) x 2 = 90 и 2 x х + 50 = 90
(х – 36) : 4 = 7 и х : 4 – 9 = 7
х x 7 x 9 = 63 и х x 63 = 63

7. Будет ли верным неравенство х + 3020 < 6873 при значениях х = 2020, 300000, 4040, 3030?

8. При каких значениях х неравенство х + 390 < 400 – 5 будет верным?

9. Поставьте знаки > или <, чтобы получились верные неравенства.

По какому признаку выражения записаны в столбцы?

Ответ: в первом столбце – выражения на умножение двузначного числа на однозначное, во втором – выражения на деление чисел на однозначное число, третий – на умножение и деление на 10 и 100, в четвертом – на сумму разрядных слагаемых и переместительное свойство сложения.
Можно предложить дополнительное задание: "Используя данные неравенства, составьте уравнения", например, 37 x 7 = 259, 80 x 3 = 240, значит, уравнение может быть любым из: 37 x 7 – х = 80 x 3, 37 x 7 = х + 80 x 3, 37 x х – 19 = 80 x 3 и др.

10. Сравните числа: a и b, a и d, d и c, c и a, пользуясь их изображением на координатной прямой:

11. Найдите все цифры, при подстановке которых неравенство станет верным.

12. Решите уравнения.

13. Запишите в виде уравнения и найдите его корень любым способом.

Величины

1. Вставьте единицы измерения в следующие равенства.

Некоторые задания здесь с вариативными ответами: 1 ч = 60 мин или 1 мин = 60 с; 1 м = 100 см или 1 век = 100 лет. Чтобы разнообразнее были ответы учеников, учитель может предлагать конкретные вопросы или задания. Например, "Вставьте единицы измерения массы в третье равенство", "Какие единицы измерения длины можно вставить в третье равенство?".

2. Какие единицы измерений можно записать вместо многоточия.

3. Вставьте знаки неравенства.

В данном задании могут получиться строгие и нестрогие неравенства, например, 1 г.>= 356 дн. или 1 мес. <= 31 д.

4. Найдите закономерность и продолжите ряд.

1т 3ц, 2т 2ц, 3т 1ц, 4т, 4т 9 ц, ...
97 см, 8 дм 9см, 81 см, 7 дм 3 см, 65 см, ...

5. По какому признаку записаны величины в каждом столбике.

6. Заполните пропуски и прочитайте полученные схемы.

1 ... -->1 м² --> 1 дм² --> 1 ... --> 1 мм²

7. Заполните таблицу.

8. Вычислите там, где это возможно.

Единицы каких величин приведены?