Пропедевтика обучения доказательствам в курсе математики начальной школы

Обучение доказательствам в школьном курсе математики традиционно начинается в 7-м классе, в ходе изучения систематического курса геометрии. Доказательство теорем и решение задач, в формулировке которых используется слово "доказать", появляются как абсолютно новая форма работы. У большинства детей доказательства вызывают трудности, которые кажутся непреодолимыми.

Принято считать, что это естественные трудности, связанные с возрастными особенностями детей, которые еще "не доросли" до умения доказывать. Об этом, казалось бы, неопровержимо свидетельствуют как практика преподавания, так и теоретические исследования, прежде всего работы выдающегося психолога Ж.Пиаже.

Как известно, Пиаже, считая человека существом прежде всего биологическим, пытался найти мыслительные процессы, которыми дети не владеют, а большинство взрослых владеет. После этого в ходе многих тысяч экспериментов устанавливалось, в каком возрасте ребенок "дорастает" до умения выполнять соответствующую мыслительную работу. Это, как утверждал Пиаже, необходимо, чтобы знать, с какого времени имеет смысл приступать к обучению.

Один из открытых Пиаже "феноменов" связан с неумением детей до 12–14 лет логически мыслить. Авторитет Пиаже был настолько велик, что и сегодня во всем мире не предпринимаются попытки учить детей логически мыслить, в частности учить доказательствам в младших классах. Между тем еще в тридцатых годах выводы Пиаже, рассматривавшего воспитание и обучение как условие приспособления педагогического процесса к психическому развитию ребенка, были подвергнуты критике российским психологом Львом Выготским. У Пиаже, как показал Выготский, педагогический процесс как бы следует за развитием, "плетется в хвосте детского развития", развитие ребенка представляется как процесс, подчиненный природным законам и протекающий по типу созревания, а обучение понимается как чисто внешнее использование возможностей, которые возникают в процессе развития.

Выготский предложил свою теорию развития. В ее основе положение о том, что уровень психического развития ребенка определяется его воспитанием и обучением: "Правильно организованное обучение ребенка ведет за собой детское умственное развитие, вызывает к жизни целый ряд таких процессов развития, которые вне обучения вообще сделались бы невозможными". (Выготский Л.С. Собр. соч. Т. 2. М., 1952. С. 225). Под руководством Выготского было экспериментально доказано, что даже очень маленькие дети (4–5 лет) в результате обучения весьма быстро приобретают навыки логического мышления, в частности, умение классифицировать и аргументированно обосновывать свои выводы.

Неподготовленность учеников к доказательствам – одна из важнейших причин возникновения трудностей в 7-м классе. Исследования психологов школы Выготского позволяют утверждать, что подготовку можно и нужно начинать уже в начальной школе. Анализ программ и действующих учебников показывает, что материал курса математики начальной школы дает для пропедевтики обучения доказательствам самые широкие возможности.

Трудности при первоначальном знакомстве с доказательствами вызывает сам термин "докажи". Это слово вызывает у многих детей ощущение чего-то очень сложного. Известно, что часто дети даже не пытаются решать задачи, в формулировке которых используется это слово, а доказательства теорем заучивают наизусть, считая, что по-другому усвоить их невозможно. Поэтому пропедевтика обучения доказательствам прежде всего должна быть направлена на то, чтобы уже в начальной школе сделать привычным слово "докажи" в формулировке математических заданий. Правда, как остроумно заметил знакомый преподаватель начальной школы, это не совсем безопасно: услышав требование "докажи", ребенок может упасть в обморок. Однако если организовать обучение так, чтобы оно вело за собой детское умственное развитие, не только обмороков, но и затруднений не будет.

Чем пугает ребенка требование "докажи"? Тем, что оно не встречалось на протяжении 5–6 лет и вдруг выпрыгнуло, как чертик из бутылки. Следовательно, надо организовать обучение так, чтобы это слово стало привычным. Сделать это нетрудно: в ныне действующих учебниках присутствует большое количество заданий, которые после незначительного изменения формулировки позволяют использовать слово "докажи" в связи с закреплением изученной теории. Например, при отработке определения умножения используются задания, в которых требуется вычислить 12 x 4, заменив умножение сложением. То же самое задание можно сформулировать по-другому: "Докажи с помощью определения умножения, что 12 x 4 = 48". Рассуждения учеников, образцы которых, естественно, должны быть заложены в объяснении учителя, могут быть такими.

Произведение 12 x 4 – это по-другому записанная сумма 12 + 12 + 12 + 12. Эта сумма равна 48. Следовательно, 12 x 4 = 48.

Даже обычные вычислительные задачи можно формулировать, используя слово "докажи". Например, вместо того чтобы вычислять площадь квадрата с указанной стороной и площадь прямоугольника с указанными сторонами, можно предложить задачу: "Докажи, что площадь квадрата со стороной 4 см равна площади прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см". Рассуждения ученика могут быть такими.

Площадь квадрата со стороной 4 см равна 4 см x 4 см = 16 см².

Площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см равна 8 см x 2 см = 16 см.

Эти площади равны. Что и требовалось доказать.

Во всех классах, в том числе и в начальных, полезно давать задачи повышенной трудности, стимулирующие математическое развитие и интерес к математике. Среди них достойное место могут занимать задачи на доказательство, сформулированные в общем виде. Рассмотрим в качестве примера задачу: "Докажи, что площадь квадрата со стороной а равна площади прямоугольника, одна сторона которого в 2 раза больше стороны квадрата, вторая – в 2 раза меньше стороны квадрата". Такую задачу полезно предложить после того, как ученики познакомятся со свойством произведения: если увеличить один множитель в несколько раз, то произведение увеличится во столько же раз; если уменьшить один множитель в несколько раз, то произведение уменьшится во столько же раз.

Рассуждения могут быть такими. Площадь квадрата со стороной а равна произведению a x a. Площадь прямоугольника, у которого стороны равны 2 x а и а, равна (2 x а) x а, то есть в два раза больше площади квадрата а x а. Площадь прямоугольника, у которого одна сторона равна 2 x а, вторая равна а, в два раза меньше площади прямоугольника со сторонами 2 x а и а, то есть равна площади квадрата со стороной а. Что и требовалось доказать.

Очень важным компонентом доказательств является умение аргументированно излагать свои мысли. Учить этому в начальной школе можно при изучении практически каждой темы. Покажем, каким образом эта возможность может быть реализована на примере решения задачи: "Имеется 4 коробки по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в этих коробках?" Поскольку аналогичных задач в действующих учебниках очень много, дети запоминают, что они решаются умножением. Но, как правило, не в состоянии обосновать, почему надо находить произведение 6 x 4.

Попробуйте предложить ребенку объяснить, почему он перемножает числа, а не складывает их, не вычитает, не делит. Мы задавали этот вопрос многим десяткам хорошо успевающих детей в разных регионах. Многие дети воспринимали вопрос как сигнал о неверно выполненном решении и немедленно предлагали выполнить какое-либо иное действие, чаще всего сложение.

Некоторые ученики, твердо "уловившие", что такие задачи решаются умножением, пытались обосновать свой вывод ссылкой на присутствие в формулировке предлога "по". В этом случае им предлагалась задача: "Имеется 24 карандаша. Сколько потребуется коробок, чтобы разложить карандаши по 6 карандашей в каждую?", показывающая, что предлог "по" может означать необходимость выполнять не только умножение, но и деление.

Аналогичные эксперименты показывают, что само по себе умение обосновывать свои выводы, как правило, не появляется, ему надо целенаправленно учить. Обучение может быть организовано, например, так. 

Уже при первоначальном знакомстве с понятием произведения сумма п одинаковых слагаемых изображается в виде п равных между собой отрезков, отложенных на луче от его начала. Например, сумма 6 + 6 + 6 + 6 изображается так.

Поскольку данная сумма записывается в виде произведения 6 x 4, тот же самый рисунок моделирует произведение 6 x 4.

Графическая интерпретация произведения с помощью суммы равных отрезков может стать наглядной опорой при обучении обосновывать свои выводы в ходе решения задач, аналогичных задаче на отыскание числа карандашей в 4 коробках по 6 карандашей в каждой. Разумеется, если учитель не только познакомит с моделированием произведения в виде последовательно отложенных на луче равных отрезков, но и научит детей самостоятельно строить аналогичные модели. Обучение может быть организовано так.

Учитель предъявляет такой, например, рисунок.

Предлагается записать то, что на нем изображено: 1) в виде суммы; 2) если это возможно, заменить суммы произведениями.

Существенно, чтобы все ученики записывали результат выполнения каждого из заданий и чтобы правильность выполнения сразу же проверялась у всех. Например, кто-нибудь диктует или записывает свой результат, а остальные "сигнализируют", согласны они с этим результатом или не согласны.

После выполнения нескольких таких заданий можно предложить изобразить с помощью отрезков указанные произведения и суммы произведений, а затем, используя графическую модель, обосновывать с ее помощью вывод о том, что задача решается с помощью умножения.

Обоснование при решении упомянутой задачи, в которой требуется отыскать число карандашей, может выглядеть так.

В одной коробке 6 карандашей. И в другой 6. В остальных тоже по 6. Изобразить это можно так (делается рисунок, на котором изображено 4 последовательно отложенных равных отрезка). Надо найти, сколько всего. Поэтому надо сложить: во всех четырех коробках 6 + 6 + 6 + 6 карандашей. Такую сумму можно заменить произведением 6 x 4.

В качестве еще одного примера рассмотрим использование графической модели при обосновании того, что именно деление используется, чтобы узнать число коробок, в которые можно разложить 24 карандаша по 6 карандашей в каждую.

Известно, что имеется 24 карандаша:  

Известно, что в одну коробку помещается 6 карандашей. И в другую 6. В остальных тоже по 6. Число коробок (m) нам не известно. Изобразить это можно так.

т коробок по 6 в каждой

Во все т коробок помещается 6 x т карандашей. По условию их 24. Следовательно, 6 x т = 24.

Число т равно 24 : 6, так как частное – это число, произведение которого на делитель равно делимому. Значит, число коробок надо находить делением.

Практически все доказательства связаны с извлечением информации из условия и решением вопроса, каким образом можно установить то, что требуется доказать. Пропедевтическое знакомство со всем этим может быть осуществлено в ходе решения составных задач.

Поясним сказанное на примере решения задачи: "На склад надо завезти 800 кг угля. В понедельник завезли две машины по 300 кг угля в каждой. Сколько килограммов угля осталось завезти на склад?"

Организовать решение составных задач удобно так. Прежде всего выписывается то, что требуется найти, чтобы ученики осознали, что именно от них требуется. По возможности записи должны быть краткими. В рассматриваемой задаче вопрос может быть записан так: "Сколько килограммов осталось завезти?"

Далее можно приступить к извлечению информации из условия. Для этого удобно предложить читать условие задачи до тех пор, пока не встретятся какие-либо данные. Эти данные удобно записать в виде чисел или числовых выражений, изображая новую информацию рисунками.

В рассматриваемой задаче читаем: "На склад надо завезти 800 кг угля". Рисунок может быть таким. 

Продолжаем чтение: "В понедельник завезли две машины по 300 кг угля в каждой". Эту информацию можно записать так: 300 кг x 2 = 600 кг. Рисунок может быть дополнен.

Какая-либо иная информация отсутствует. Поэтому переходим к тому, что требуется узнать. На рисунке эту неизвестную часть восьмисот килограммов угля можно отметить знаком "?".

Найти неизвестное число можно, если от 800 кг отнять количество угля, привезенного в понедельник. Но для этого надо знать, сколько же угля было привезено в понедельник. Это уже установлено: в понедельник привезено 600 кг угля.

Осталось завезти 800 кг – 600 кг = 200 кг угля.

Ответ: осталось завезти 200 кг угля.

Рассмотрим задачу: "Расстояние между городами 800 км. Самолет летел 2 ч со скоростью 300 км/ч. Сколько ему еще осталось пролететь?"

Традиционно считается, что это задача совершенно иного типа, чем предыдущая. Однако графическая модель при решении этой задачи совершенно такая же, как при решении предыдущей. Это позволяет обратить внимание детей на то, что фабула задачи (то есть то, о чем в ней говорится) не является главной. Не имеет смысла вспоминать, какая похожая задача была к этому времени решена. Надо стремиться понять связь между упомянутыми в задаче величинами и извлечь нужную информацию.

Рассмотрим в качестве примера решение еще одной задачи.

"Слесарю необходимо изготовить 80 деталей. Он работал 3 ч, изготавливая по 20 деталей в час. Сколько деталей ему осталось изготовить?"

Краткая запись того, что требуется найти, может быть такой: "Сколько осталось изготовить?"

Далее читаем текст задачи, фиксируя с помощью рисунка заложенную в условии информацию.

"Слесарю необходимо изготовить 80 деталей". Рисунок может быть таким. 

"Он работал 3 ч". Как использовать эту информацию, пока не ясно. Поэтому продолжим чтение.

"Он работал 3 ч, изготавливая по 20 деталей в час". Эту информацию можно записать в виде числового выражения 20 x 3 и изобразить на том же рисунке.

Время от времени имеет смысл требовать обоснование того, что число изготовленных деталей находится действием умножения: дети должны рассказывать, что в первый час изготовлено 20 деталей, в каждый следующий тоже по 20. Чтобы узнать, сколько всего, надо сложить три одинаковых слагаемых 20. Это то же самое, что умножить 20 на 3.

Какая-либо иная информация отсутствует. Поэтому переходим к тому, что требуется узнать. На рисунке эту неизвест-ную часть восьмидесяти деталей можно отметить знаком "?".

Найти неизвестное число можно, если от 80 деталей отнять количество деталей, изготовленных за 3 ч. Но для этого надо узнать, сколько же деталей изготовлено за 3 ч.

За 3 ч изготовлено 20 x 3 = 60 деталей.

Осталось изготовить 80 – 60 = 20 деталей.

Ответ: осталось изготовить 20 деталей.

Оказалось, что и эта задача решается практически так же, как и две предыдущие. Это позволяет резко сократить число задач, повышая в то же время эффективность обучения. При таком подходе центр тяжести обучения смещается с числа решенных задач к обучению моделированию математического содержания с помощью рисунков.

Рассмотрим еще одну задачу, математическая модель которой не такая, как у предыдущих: "В классе 18 девочек, что в 3 раза больше, чем мальчиков. На сколько в классе больше девочек, чем мальчиков? Сколько учеников в классе?"

Учитывая крайне низкую технику письма у большинства детей, вряд ли целесообразно записывать полностью вопросы задачи. Записи сильно сократятся, если договориться записывать число девочек буквой Д, а число мальчиков буквой М. Записи могут быть такими.

1. На сколько Д > М?
2. Сколько учеников?

Далее читаем текст: "В классе 18 девочек..." – и изображаем графически имеющуюся в нем информацию. Рисунок может быть таким.

Черта слева здесь облегчает сравнение числа девочек и мальчиков.

Продолжаем читать задачу: "В классе 18 девочек, что в 3 раза больше, чем мальчиков".

Известно, что, увидев в тексте задачи слова "в... больше", многие дети, не раздумывая, выполняют умножение. Поэтому необходимо обсудить вопрос о том, кого больше, девочек или мальчиков, выяснить, что мальчиков в 3 раза меньше, чем девочек, а потому, чтобы узнать число мальчиков, надо разделить 18 на 3. На рисунке это можно изобразить так.

Чтобы узнать, на сколько девочек больше, чем мальчиков, надо от 18 отнять 18 : 3, то есть 6: 18 – 6 = 12.

Чтобы узнать, сколько учеников в классе, надо установить, сколько в классе девочек и мальчиков вместе: 18 + 6 = 24.

Ответ: 1) девочек больше мальчиков на 12; 2) всего в классе 24 ученика.

В заключение считаем необходимым подчеркнуть, что рассмотренная работа учит детей грамотно формулировать мысли, обосновывать выводы, способствует развитию логического мышления. Все это необходимо не только для пропедевтики обучения доказательствам, но и является важнейшим показателем успешности обучения в начальной школе.

Марк ВОЛОВИЧ,
Татьяна ЛАМШИНА